数理化自学丛书 51:32/667 代数 第 册 ==========第1页========== /、22 267 /:/ 数理化自学丛书 代 数 第一册 数理化自学丛书编委会数学编写小组缟ibb 上淮科技术出市社 ==========第2页========== 数理化自学丛书代数（第一册）数理化自学丛书编委会数学编写小组编上海科学技术出版社出版（上海瑞金二路450号)北京出版社重印北京市新华书店发行北京印刷二印刷开本787×10821/32印张9.75字数214,0001963年10月第1版1978年12月第1次印刚 书号：13119533定价：0.61元 ==========第3页========== 内容提要 本书是数理化自学丛书中代数第一册，内容包括有理数、代数式、整式、因式分解、分式、比和比例等六章，只要具备算术的基本知识即可阅读。书中在一些重要的地方都作了直观的反复说明或分析，并附有大量例题和习题，供练习巩固之用 本书可供青年工人，知识青年，在职干部自学，也可供中等学校青年教师参考。 ==========第4页========== 重印说明 《数理化自学丛书》是一九六六年前出版的.计有《代数》 6 四册，《平面儿何》二册，《三角》一册，《立体几何》一册，《平面解析几何》一册；《物理》四册；《化学》四册.这套书的特点是：比较明白易懂，从讲清基本概念出发，循序前进，使读者易于接受和理解，并附有不少习题供练习用.这套书可以作为青年工人、知识青年和在职干部自学之用，也可供中等学校青年教师教学参考，出版以后，很受读者欢迎。但是在“四人帮”及其余党控制上海出版工作期间，这套书横被扣上所谓引导青年走白专道路的罪名，不准出版. 英明领袖华主席和党中央一举粉碎了祸国殃民的“四人帮”.我国社会主义革命和社会主义建设进入新的发展时期.党的第十一次全国代表大会号召全党、全军、全国各族人民高举毛主席的伟大旗帜，在英明领袖华主席和党中央领导下，为完成党的十一大提出的各项战斗任务，为在本世纪内把我国建设成为伟大的社会主义的现代化强国，争取对人类作出较大的贡献，努力奋斗.许多工农群众和千部，在党的十一大精神鼓舞下，决心紧跟英明领袖华主席和党中央，抓纲治国，大干快上，向科学技术现代化进军，为实现四个现代化作出贡献，他们来信要求重印《数理化自学丛书》.根据读者的要求，我们现在在原书基础上作一些必要的修改后，重新出版这套书，以应需要 十多年来，科学技术的发展是很快的.本丛书介绍的虽仅是数理化方面的基础知识，但对于应予反映的科技新成就方面内容，是显得不够的.同时，由于本书是按读者自学的要求编写的，篇幅上就不免有些庞大，有些部分也显得有些烦琐.这些，要请读者在阅读时加以注意 对本书的缺点，希望广大读者批评指出，以便修订时参考 一九七八年一月 34107 ==========第5页========== 目 录 重印说明 §2.3列代数式…81 第一章有理数…1 §24代数式的值…85 §1·1算术里有关数的运算 本章提要…91 知识的复习…1 第三章整式…95 §1.2负数的引进…10 §3…1整式…95 §13有理数…13 §3…2单项式…95 §1.4数轴…15 §33多项式…99 §15相反的数…17 §3·4整式的加减法…105 §1…6数的绝对值…20 §3·5去括号与添括号…117 §17有理数大小的比较…22 §3.6整式的乘法…120 §1·8有理数的加法…25 §3…7整式的乘方…131 §19加法的运算性质…32 §3·8整式的除法…136 §1·10有理数的减法…36 §3.9有余式的除法…146 §1·11减法的运算性质…40 §3.10乘法公式…148 §1·12代数和…43 本章提要…170 §1·13有理数的乘法…45 第四章因式分解…174 §1.14乘法的运算性质…52 §41因式分解的意义…174 §1·15有理数的除法…55 §4·2提取公因式的因式分 51…16倒数…60 解法…176 §1·17除法的运算性质…61 §43分组提取公因式的因 S118有理数的乘方…65 式分解法…180 §1·19一位数与两位数的平 §44公式分解法…182 方表…69 §45二次三项式x2+px1q §1·20有理数的运算顺序…71 的因式分解法…194 本章提要…73 §46因式分解的一般步 第二章代数式…77 骤…199 §2·1用字母表示数…77 §47最高公因式…202 82,2代数式…80 §48最低公倍式…205 e1● ==========第6页========== 本章提要…207 第六章比和比例…258 第五章分式…211 §6.1比…258 §5…1分式…211 §6·2比的基本性质…260 §5.2分式的基本性质…215 §6…3比的反比…262 §5·3分式中分子和分母的 §64比例…264 符号变换…217 §6.5比例的基本性质…265 §5·4约分…219 §66解比例…265 §55通分…224 §6.7成正比例的量…267 §5.6分式的加减法…229 §6.8成反比例的量…271 §57分式的乘法…237 本章提要…276 §58分式的乘方…242 总复习题…279 §5.9分式的除法…244 习题答案 285 §5·10繁分式…249 附英语字母表及常用希腊 本章提要…254 字母表…303 ==========第7页========== 第一章有理数 读者们都学过了算术.我们现在要开始学习代数了，代数和算术，虽然是两门学科，但它们却是紧密地联系着的.算术里有许多内容，都是在学习代数时必须用到而且经常要用到的，因此，我们在开始学习代数的时候，要先来复习一下算术里学过的一些有关数的运算的知识. §1·1算术里有关数的运算知识的复习 1。箅术里学过的数算术里学过哪一些数呢？我们先来看一看下面这些数 (1)1,2,3,5,16,30,132,478, (2)0: (3)3.5,0.326,0.0037,364.24; (4,5 음부 你认识这些数吗？能够说出这四类数的名称吗？ 在第一类数里，1,2,3,5,16等，它们都是在我们数个数时按照1,2,3,4,5,6，…这样的次序一个一个顺次数下去时，总会数到的.这样的数叫做自然数.自然数的个数是无限多的.任何一个自然数总还有比它更大的自然数 第二类数只有一个，就是0，读做“零”，它不是自然数第一类和第二类数都叫做整数，也就是说，自然数和零都 ◆1 ==========第8页========== 叫做整数 第三类数3.5,0.326,0.0037等叫做小数，小数里的圆点脚做小数点 四类数音等叫做分数.各个分数中间的一 划叫做分数线，分数线上面的这个数叫做分子，分数线下面的这个数叫做分母 在算术里所学过的小数，实际上也是分数的一种写法.例 如，35就是8克，026筑是部，007就是部，37 304,24就是3040.所以我们说：算术里所学过的数，就是 整数和分数 2。算术里学过的运算 (1)四种基本运算：我们在算术里学过哪几种运算呢？我们学过四种运算，就是加法、减法、乘法和除法.这四种运算，总起来叫做四则运算 加法是从两个加数求它们的和的运算，如3+5=8，那就是： 加数甲十加数乙=和 任意两个数，总可以相加，求出它们的和来 减法是已知两个加数的和与其中一个加数求另一个加数的运算.已知的和叫做被减数，已知的一个加数叫做减数，所求的另一个加数叫做差，如8一5=3，那就是： 被减数一减数=差 在算术里，减法不是一定可以进行的.只有当减数小于被减数或者等于被减数的时候，减法才能够进行.如果减数大于被减数，如3一4，在算术里，这个减法就不能做 02● ==========第9页========== 乘法是从两个数求它们的积的运算，这两个数一个叫做被乘数，另一个叫做乘数，也可以把这两个数都叫做因数.如8×5=40,这里是： 被乘数×乘数=积 或 因数甲×因数乙=积 任意两个数，总可以相乘，求出它们的积来. 除法是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的另一个因数叫做商，如40÷5=8，那就是： 被除数÷除数=商. 当我们只学到整数的时候，除法不一定可以除尽，例如16÷3就不能除尽，只能得到部分的商5，同时得余数1.但当我们学习了分数以后，那末只要除数不是零，除法就总可以进行，例如 16÷3=6 3 零不能作为除数，因为拿零作为除数是没有意义的.(②)逆运算关系：减法是加法的逆运算，减法里的被减数，就是加法里的和，减法里的减数，就是加法里的一个加数，而减法里的差，就是加法里的另一个加数.它们之间的关系如下： 加法 减法 加数甲+加数乙一和 被减数一减数=差 例如8+5=13，即得13-5=8，或13-8=5 。3● ==========第10页========== 除法是乘法的逆运算，除法里的被除数，就是乘法里的积，除法里的除数，就是乘法里的一个因数，而除法里的商，就是乘法里的另一个因数.它们之间的关系如下： 乘法 除法 因数甲×因数乙=积 被除数÷除数=商 例如8×5=40，即得40÷5=8，或40÷8=5. 3。算术里学过的运算符号和关系符号在算术里，我们学过下面这三类符号： (1)有关运算种类的符号：知号 十 读做“加”，或“加上”； 减号 读做“减”，或“减去”； 乘号 读做“乘以”； 除号 读做“除以”； 注除号的读法要特别注意，有人渎做“除”，那是不确当的.如16÷2应该读做“十六除以二”，不要读做“十六除二”.我们要养成正确读出符号的习惯 分数里把分子分母隔开的这条“分数线”，实际上也是一个除号，例 如是，实际上就是1÷12， (②)括号：括号是一种关于运算顺序的符号。括号有小括号()、中括号[]、大括号{}. 注有时还应用“括线”，例如{[(3-5-4)×8+3]×2+1}×3+5，小括号里边5一4的上面的一条线，就是括线，表示5-4要先进行运算. 在分数里的分数线，既有除号的意义，有时也带有括号的意义，例 如，25-4与8+6都要先做然后再花分子除以分母，这里的分 数线就既有除号的意义，又有活号的意义.在繁分数里，我们还要依 04● ==========第11页========== 32 照分数线的长短来确定运算次序的先后，例如 就是32÷(4÷2)= 2 32 4 2÷2=16,而之就是(32÷4)÷2=8÷2=4，这里两条分数线的长 短，就相当于括号的大小的区别了. (3)数的大小关系的符号：在算术里，我们学习过三种关于数的大小关系的符号： 等号 读做“等于” 例如3+5=8， 大于号> 读做“大于” 例如 5>2, 小于号 读做“小于” 例如1<4. 4。算术里学过的运算顺序的规定在一个包含儿个运算的式子里，对运算的先后次序，有下面这些规定 (①)在一个没有括号的算式里，如果只含有加减运算（叫做第一级运算)，或者只含有乘除运算（叫做第二级运算），应该从左往右依次运算. (2)在一个没有括号的算式里，如果既含有第一级运算，也含有第二级运算，应该先做第二级运算（乘、除），后做第一级运算（加、减）.简单说起来，就叫做“先乘除、后加减” (3)一个算式里有括号的，括号里面的运算要先做.如果有几种括号，先算最里层的小括号里面的运算，再算较外面的中括号里面的运算，最后才算最外面的大括号里面的运算。如果括号里面也有几种运算，同样按照上面(1)、(2)两条规定的次序进行演算 例1.计算：16+5-8+100-113. 分析这里只有第一级运算一加、减运算，按照规定()，运算从左到右一步一步进行、 ●5◆ ==========第12页========== [解]16+5-8+100-113=21-8+100-113 =13+100-113 =113-113=0. 例2.计算：18÷3×2×4. 分析这里只有第二级运算，按照规定(1)，运算从左到右一步一步进行 [解]18÷3×2×4=6×2×4=12×4=48例3.计算：540÷18+5×64-40÷2. 分析这里既有第一级运算，又有第二级运算，按照规定(2)，先做乘除，后做加减 [解1540÷18+5×6-40÷2=30+320-20 =350-20=330 例4.计算：8-{7-[6-(6-1)-2]-1}. 分析这里有三层括号，先做小括号里面的运算，再做中括号里面的运算，再做大括号里面的运算，再做括号外面的运算.每一次把括号内的式子算出结果以后，这个括号就失去作用，可以不必再写了。 [解18-{7-[6-(6-1)-2]-1} =8-{7-[6-4-2]-1} =8-{7-0-1}=8-6=2. 例5.计算： {[(24-16)×3-4×6]÷(36÷3-2×5)+40}÷4. [解J{[(24-16)×3-4×6]÷(36÷3-2×5)+40}÷4 ={[8×3-4×6]÷(12-10)+40}÷4={[24-24幻÷2+40}÷4={0÷2+40}÷4={0+40}÷4=40÷4=10. 例6。计算。[(1号+2)-8을-]+음+ 6● ==========第13页========== [解】(号+2)--]-음+는 -[x]-+는 -[]-+극 ~+-중+-器329112 注意分数的加减法里，如原有分母不相同，必须进行通分，在乘除运算中，各个带分数要化成假分数，并须随时注意约分，化成最简分数。 1 例7.计算： 3+ 6- 3 分析这是繁分数，中问的分数线是兼有括号的作用，所以3+号 的加法与5一号的减法都要允做。 3+号 22 【解] 22÷142x333 61147产3-714493 例8.计算：(6号-0.37）×0.4+1号. 分析这个算式里既有分数又有小数，因为子和冬都可以化做 有限小数，所以这个题目可以用两种方法来计算：()把小数先化成分数后再算；(2)把分数先化成小数后再算。 [解1]化成分数做： 7 ==========第14页========== (6号-0.8m）×0.4+1号(6号一)+8 =13 6品×号+1g2 중+1-6118= 0+18 218 13+1支=3778 100· 【解2幻化成小数做： (52-0.37）×0.4+1号 =(5.5-0.37)×0.4+1.125=5.13×0.4+1.125 =2.052+1.126=3.177. 例9.计算：(65号+0.3)×豆-1.6 分析这里号不能化成有限小数，所以要先把小数化成分数后再 算 [解](g+0.38)×是-1.35 (+器)×-그33 -×号-1300 勰×135 300 1099 810289 600 600 600· 8◆ ==========第15页========== 习题11 回答下列问题(1~7)： 1.写出三个自然数来.写出最小的自然数来.有没有最大的自然数？ 2.在算术里，“整数”和“自然数”这两个名称有没有区别？有什么区别？ 3。写出四个分数来，其中两个是真分数，两个是假分数。是真 分数还是假分数？ 4.写出三个繁分数来，其中一个的分母是整数，分子是分数；另一个的分母是分数，分子是整数；还有一个的分母分子都是分数.再把它们化成普通分数. 5写出三个小数来，并把它们化成分数. 6。在算术里，加法、乘法、减法、除法是不是总可以进行？那些运算在怎样的情况下不能进行？ 7.零可以做除数吗？零可以做被除数吗？计算(8~20)： 8.328+672÷(72÷9×4) 9.(56+44)×0+1÷1+0÷100+9. 10.1+2×{2+3×[3+4×(4+5×6)×7÷8]-9}. 1.18-小-[+(1-)x] 132.(18-sx1+을+2)x 13.3.6+43.05+1.8-13.08-4.87, 14.7.5×15.2÷(38×2.5×0.06). 15.(3.54-2.54×0.7)×1.2. 16.[(2+0.3)×0.5+是×0.16÷1. 17.0.3×0.2-7×0.15, ●9 ==========第16页========== 3 18 3 13 1 255 19 6 ÷ 20 426 2 1- 697 1 8- 5- §12负数的引进 让我们看这样的问题 在温度计上，某一天下午的温度是7°，如果半液里的温度比下午的温度下降6°，那末半夜里的温度是多少呢？ 这个问题很容易做，只要用减法，得 7-6=1, 就可以知道半夜的温度是1°. 现在让我们再看一个类似的问题： 在温度计上，某一天下午的温度是3°，如果半液里的温度比下午的温度下降4°，那末半夜里的温度是多少呢？ 这个问题和上面的问题性质是一祥的、照理它也可以用减法来解、 但是，如果我们列出式子，就得到3一4， 这里被减数小于减数，在算术里这个算式是没有意义的.这个问题到底有没有意义呢？ 在实际生活中，我们都了解这个问题是有意义的.从3°下降4°，半夜里的温度是零下1° 从温度计上，我们知道，有零上1°，也有苓下1°，虽然同样是1°，实际意义是不同的。要说明它们之间的区别，必须 ·10· ==========第17页========== 说明是“零上”还是“零下”. 如果我们想省去“零上”“零下”这些字眼，而又不使零上的度数与零下的度数混淆不清，那么，除了原有算 4 术里所学过的数以外，还需要引进新的数来解决这个问题 50 我们采用原有的算术里的数来表示零和零上 403 的度数，如零度写成0°，零上1°写成1°，把原来算术里的数的前面加上一个符号“-”（读做“负”）来表示零下的度数，如零下1°就写成一1°，零下20°就写成-20°.这里一1，一20是一种新的数，叫做负数.在引进了负数以后，我们把算术里 02 学过的数，除了0以外，都叫做正数.为了使正数与负数区别清楚起见，我们也可以在正数的前面 10 加上一个符号“+”（读做“正”），如20写成+20，1写成+1等 +30读做正三十，一30读做负三十，正数前面的“十”号叫做“正号”，负数前面的“一”号叫做“负号” 图11 注正号“+”和负号“一”，它们指出数的性质，所以把它们叫做性质符号 +1,-1,+20,一20这些数是不是只有温度计里用得到呢？让我们再看一个例子. 某人在一条公路上骑自行车要从甲地到乙地.有人告诉他要行20公里路程.这个人骑自行车走了20公里之后一问，并没有到达乙地，却和乙地相差40公里了. 为什么会这样呢？ 原来他走错了一个方向.从甲地到乙地，应该是往东走 ◆110 ==========第18页========== 的，但他却往西走，所以越走越远了 从这里可以看出，路程上也有一个方向的问题.例如向东和向西是两个相反的方向，同样走20公里路，方向不同，效果就完全不一样.向东走20公里和向西走20公里是两个具有相反方向的量，就和温度计上零上与零下的温度是两个具有相反方向的量一样.为了表示路程及其方向，我们可以象温度计上的度数一样，指定一个方向作为正方向，譬如把向东作为正方向，那末向东的20公里就用+20公里或20公里来表示，读做正20公里，把相反的方向向西的20公里用一20公里来表示，读做负20公里，这样，相反的方向就可以区别开来了. 在生活实践中，具有两种相反方向或两种相反意义的量是很多的，都可以用正数和负数来表示.例如，把高出海面的高度作为正方向，那末某一个寓山高出海面7000米可以写做高度是+7000米或7000米，另一个低地低于海面100米可以写做高度是一100米；又如把收入当做正，支出当做负。某人每月工资收入60元可以写做+60元，生活支出20元可以写做一20元等.具有相反意义或相反方向的量是很多的，因此负数的应用是非常广泛的。 习题1·2 1.读出下列各数： +24,-16,+3 3,~6 7” +3.6,-0.43,-30543. 2.用正数或负数来表示下列温度： 零上18°，零上100°，零下16°，零下273° 12 ==========第19页========== 3,如果在一条东西向的公路上，把向东方向作为正方向，怎样表 示向东75公里？向西75公里？向西9登公里？+50公里是什么意 思？一50公里是什么意思？ 4 4.如果在比赛篮球时胜16分用+16分来表示，怎样表示输16分？+2分是什么意思？一2分呢？ 5.如果某仓库运入某种货物5000斤，用+5000斤来表示，那么运出3000斤如何表示？ 6.用正数或负数表示下列各位置的高度： (1)喜马拉雅山的主峰珠穆朗玛峰高出海面8848米； (2)我国新疆吐鲁番洼地的最低处低于海面154米. 7.如果3小时以后用+3小时来表示，怎样表示5小时以后？3小时以前？十8小时是什么意思？一6小时呢？ 8.飞机上升8000米用+8000米来表示，-3000米表示什么意思？ §1·3有理数 我们在上节里学到了负数，为了区别，把算术里学到过的数，除零以外，都叫做正数.这样，我们就有三种数：正数、负数和零.正数可以有整数、分数和小数，负数也可以有整数、分数和小数.例如+1，+2，+135等既是正数，又是整数， 我们把它们叫做正整数。正整数实际上就是自然数。3号， 十号等叫做正分数，0.7，+8.23等叫敏正小数.同样，-1， -2,-100等叫做负整数，-3，-号等叫傲负分数： 一0.7，一3.23等叫做负小数.零既不是正数，也不是负数这些数总起来应该有一个名称，我们把它们都叫做有理数.它们之间的关系，可以列成下表： ●13 ==========第20页========== 「正整数（就是自然数），如+1，+2，+135等（或 (正有理数 写做1,2,135等) 1 1 正分数（包指正小数），如+克，+53，+0.7等 有理数 (或巧微，5分0.7等) 零…只有一个数0 负整数，如-1，一2，-3，-10等 负有理数负分数（包括负小数），如-3子，-5.4等 注正有理数和零，就是我们在算术里学过的数，总称做非负有理数.注意非负和正是有区别的. 正整数、零与负整数，都是整数.所以在代数里，我们所说的整数与在算术里所讲的整数，意义不同了.在算术里，整数只指正整数（自然数）和零，而在代数里，它就包括负整数了.以后我们讲到整数，都应该这样来理解 习题1·3 1.写出三个正整数来；写出三个负整数来；写出一个既不是正的也不是负的整数来， 2.写出三个正分数来；写出三个正.小数来；写出三个负分数来；写出三个负小数来 3.354是正数吗？是整数吗？是正整数吗？是自然数吗？是有理数吗？ 4.一354是自然数吗？是整数吗？是有理数吗？ 5.零是自然数吗？是正数吗？是负数吗？是整数吗？是有理数吗？ 6.写出任意5个不同的有理数来；写出任意3个非负有理数来，写出任意3个非负整数来 7.自然数一定是正整数吗？一定是整数吗？整数一定是自然数吗？ ·14e ==========第21页========== §1·4数轴 我们在量身高的时候，通常可用一根直立的木尺，划上许多横格，并注明一些表示长度的数字（一般用厘米作为单位长度).当一个人站到下面的垫板上时，他的足底刚刚对准这根尺的起点，从他的头顶所对的尺上的位置，可以读出他的身高的厘米数来、这就是说，对于每一个身体高度的厘米数，这根木尺上有一个和它对应的位置 我们容易想到，是不是对于所有的有理数，正的、负的和零，也可以有类似这样的尺，使每一个有理数都能在尺上找到它的对应的位置呢？ 有的.事实上温度计就是这样一根尺.在温度计上，我们既有对应于正的度数的点，也有对应于零度的点，并且还有对应于负的度数的点 图1·2 用同样的方法，我们可以用一条直线上的点来表示全部有理数 现在说明如下： 任意画一条水平方向的直线，规定它的一个方向是正的，和它相反的方向是负的（通常规定向右的方向是正的，向左的方向是负的)，画一个箭头表示它的正方向，如图13. 如同木尺上的起点和温度计上的零度点一样，我们在这条直线上任意取一点0，表示有理数零，这一点叫做原点.如 ·15◆ ==========第22页========== 6方482立0打23+4+6 4经 图13 同木尺上的厘米长度和温度计上的一度的格子一祥，我们可以任意指定一个单位长度，画在这条直线的旁边.然后在直线上，从原点0开始，依照这个单位长度，向右次一次的截过去，顺次得到对应于正整数的各点的位置+1，+2，+3，+4,…等；再从原点0开始，依照这个单位长度，向左一次 一次的截过去，顺次得到对应于负整数的各点的位置，一1， 一2，一品，一4，…等.如果我们要表示分数4号的位置，那末只要从原点0向右依照单位长度截取4次，再截取相当于单位长度的一半，得到的点就表示有理数4号了、用同样的方法，我们可以在这条直线上找出表示任意有理数的点.这种用来表示数的直线叫做数轴、 从上面所讲，我们可以看出： 数轴是一条用来表示数的直线，它要有规定的正方向，原点和单位长度. 从图上可以看出，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边.原点本身就表示既不是正数也不是负数的数0 数轴上表示一个数的点叫做这个数的对应点，所有不相等的数都有不同的对应点 习题14 1.画出一条数轴。标出它的原点，正方向和单位长度.在这条数 。16. ==========第23页========== 轴上指出下列各数的对应点：+3，-3,0,1号，-2号. 2.数轴上原点右面的点表示的是什么数？左面的点呢？ 3.数轴上会不会有两个不同的点表示同样的数？ 4.数轴上会不会有一个点表示两个不同的数？ 5.画出一条数轴，在数轴上作出下列各个数的对应点：+5，-5， +1,-1,+2号，-2号0. 从图上各点的左右位置，把这？个数依照对应点的位置，从左到右排列起来 6.从上面这个题目的各点的位置，看看：卡5与一5的两个对应点 与原点的距离一样吗？这两点的位置有什么不同？+1与-1呢？+2号与-2克呢？ §1·5相反的数 1。相反的数的概念在数轴上，+5和5是由两个不同的点表示的，一个在原点的正方向，一个在原点的负方向，方向恰恰相反，但它们和原点的距离却是相等的，同样，十1与一1的两个对应点也在原点的相反方向而和原点的距离相 等；+2号与一2号的两个对应点也在原点的相反方向而和 原点的距离相等。我们把这样的两个数叫做相反的数.例如，+5与-5是相反的数，我们说+5是一5的相反的数， -5也是+5的相反的数.同样，+1与一1是两个相反的数，+1的相反的数是一1，一1的相反的数是+1.每一个正数，总有一个负数和它对应，成为它的相反的数；每个负数，总有一个正数和它对应，成为它的相反的数。只有数零，它的相反的数就是这个数零本身. ●17 ==========第24页========== -2哈-0+1+2克 +5 图14 就是： 任何一个正数的相反的数是一个负数；任何一个负数的相反的数是一个正数：0的相反的数还是0， 2。表示一个数的相反的数的方法因为+3就是3，所以在3的前面添上一个“十”号，和3没有任何区别.同样，在+3前面再添上一个“+”号，写成+(+3)，和+3或者3也没有任何区别（这个括号是为了避免两个“+”号连写而加上去的)；在一3前面再添上一个“+”号，写成+（一3），它和 -3没有区别. 因为一3是3的相反的数，所以在3的前面添上一个“一”号，就成为3的相反的数了.同样，在十3前面添上一个“一”号，写成一(+3)，也表示它是+3的相反的数，就是一3；在-3的前面再添上一个负号，写成一（一3），它就是一3的相反的数+3. 在0的前面添上一个“+”号或者“一”号，仍旧是0，即+0=0;-0=0;+(+0)=0+(-0)=0 -(+0)=0;-(-0)=0 表示一个数的相反的数的法则：要表示一个数的相反的数，只要在这个数前面添上，个“：”号；如果这个数前面原来有正负号，要先添上括号后再在前面添“一”号. 例表示下列各数的相反的数，并把它化简 (1)+3.5； ●13· ==========第25页========== [解](1)+3.5的相反的数是 -(+3.5)=-3.5 (2)一7的相反的数是 t -(-》)=+7经 习题15 1.写出下列各个数的相反的数。+3，-2，号，-15,0，把这些 数和它们的相反的数在数轴上标注出来 2.有没有一个数的相反的数就是这个数本身？说出这个数来.还有没有其他的数的相反的数也和它本身相等？ 3.+5的相反的数是什么？+5的相反的数的相反的数是什么？ -3的相反的数是什么？-3的相反的数的相反的数是什么？号的相 反的数的相反的数是什么？-3.64的相反的数的相反的数是什么？ 从上题的一些例子，回答下列的问题： 一个数的相反的数的相反的数是什么？ 4.表示下列各数的相反的数并化简： (1)+5; (2)-3; ®)+2号； (4)-106.3 5.化简： (1)+(+5); (2)+(-16.3); ()+(3》 (4)+(-301)； (5)-(+6); (6)-（-2)； (7)-(+1.36)； -(-3) (9)-[+(-5)]; (10)+[-(÷3.2); (11)-[-（+1)]; (12)-[-(-3)]. [解法举例：(1)+(+5)=+5=5.] ·19● ==========第26页========== §1.6数的绝对值 在一条公路上，从某一点甲处向一个方向行30公里到乙处和向相反的方向行30公里到丙处，乙和丙是不同的地点。但这两个点和出发点的距离却是一样的，都是30公里. 30公里 30公里 图15 有的时候，我们只需要研究两个地点之间的距离而不需要研究它们的方向.例如我们要研究从甲地到乙地或从甲地到丙地的火车运行的时间，或者火车所消耗的煤的数量，那末只要它们的距离都是30公里，就知道运行的时间和消耗的煤量是相等的，至于向东或向西的方向问题，在这里就不必研究了. 从这个例子可以看出，以向东方向为正方向，我们向东行30公里就是走了+30公里，到达的目的地与出发点的距离是30公里；向西行30公里就是走了一30公里，到达的目的地与出发点的距离也是30公里. 图16 同样地，在一个数轴上，数十3的对应点与原点的距离是3(或+3)，数一3的对应点与原点的距离也是3（或+3）.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值. ·20● ==========第27页========== 根据上面一些例子，对于数的绝对值，我们规定： 数的绝对值：正数的绝对值就是这个正数本身，负数的绝对值是它的相反的数，零的绝对值就是0. 我们在数的两旁各画一条竖线，来表示这个数的绝对值.例如我们说十30的绝对值就是+30，写做 |+30|=+30;读做“+30的绝对值等于+30”；同样，|-30|=+30；读做“一0的绝对值等于+30； 이=0读做“0的绝对值等于0”.因为 I+이=+5， |-51=+5； 所以 +5=|-이。 同样地我们有：-38=+3引：+3号--号等等 我们说：两个相反的数的绝对值是相等的. 习题16 1.一个数的绝对值，能够是负数吗？一个数的绝对值一定是正数吗？ 2.写出下列各数的绝对值，并把它的读法写出来： +5,-3,7,-6.38,0,11日，-6 8. [解法举例：|+5|=+5，读法：+5的绝对值等于+5； 1-3|=+3,读法：-3的绝对值等于+3.] 3.计算 (1)1-16+1-241+1+30;(2)1-161+1-241-1-301； ®1-10×-3引 (4)1-5.21-}-3.56; (5)1-0.31×1+0.2. [解法举例：(1)1-161+」-24++30]=16+24+30=70.] 4.化简： (1)-(-3)； (2)-1-31； 21● ==========第28页========== 说明它们的区别. 5.写出+5与-5的绝对值来. 6.写出绝对值等于3的两个数来. §1·7有理数大小的比较 在算术里，我们已经知道数可以比较大小，现在我们把数扩充到有理数，是不是所有的有理数也都能够比较大小呢？ 我们不妨仍旧从温度计上来研究.零上5°与零下5°是不是相等的温度呢？如果不相等，那末哪-一个温度高呢？零上5°与零下6°哪一个温 0- 度高呢？零下2°与篓下1°哪一个温度高呢？零度与零下1°哪一个温度高呢？从温度计上可以看出：零上5°与零下5°的温度是不相等的，零 20 上5°高于零下5°，零上5°也高于零下6°，零下 10 2°则低于零下1°，零度也高于零下1° D:1 如果把零上的度数用正数来表示，零下的度 0 数用负数来表示，那末上面的结果就是： +5°>-5°，+5°>-6°， -2°<-1°，0°>-1°. 同样，我们也可以从它们在数轴上的对应点的位置来确定有理数的大小： 图17 有理数大小的规定：在水平数轴上表示的两 个有理数，如果把向右方向作为正方向，那末，在右边的，个数总比在左边的一个数大 例如：+5>-5；+5>-6-2<-1；0>-1，从数轴上的左右关系，我们又可以清楚地看出： ●22● ==========第29页========== 76方-4-3-2立01牛83+4+5+67 图18 有理数大小的比较法则： (1)任何正数，大于任何负数；(近)任何正数，大于零；()任何负数，小于零； (iv)两个正数中，绝对值大的那个数较大；(ⅴ)两个负数中，绝对值大的那个数较小.例1.比较3.66与-8.39的大小.[解13.56是正数，-8.39是负数， .·任何正数大于任何负数， ..3.56>-8.39.(也可以写做-8.39<3.66.)注记号“.”读做“因为”，“”读做“所以”.例2.比较0与-7.8的大小.[解]因为任何负数小于零， .-7.8<0.(也可以写做0>-7.8.)例3.比较-3.56与-4.07的大小.分析一3.56与-4.07都是负数，先看它们的绝对值.[解1|-3.56！=3.66，-4.07=4.07， 4.07>3.56 也就是 1-4.07}>1-3.561. 根据两个负数大小的比较法，绝对值大的负数较小， ..-4.07<-3.56. 例4。比较一号与一是的大小 ·23· ==========第30页========== [解] 引-2 위-루 3 例5.比较下列三个数的大小：+3，-5，-1.[解】在这三个数中，+3最大，一1又比一5大， ..+3>-1>-5 注意三个数同时比较大小时，书写的次序必须使两个不等号都是“大于号”或者都是“小于号”.所以这一题也可以写做一5<一1<+3.但下列写法是错误的：一5<3>一1，因为这样就看不出-5与 一1之间的大小了。 习题1·7 1.写出四个大于0的整数；写出四个小于0的整数 2.写出所有小于7的正整数；写出所有大于一5的负整数，3,写出所有大于一3而小于+4的整数，并在数轴上把它们表示出来，这些数里面，有几对相反的数？ 4.比较下列各组数的大小，用关系符号“<”连接起来： (1)7,10; +0是 (2)+62 (3)7,-3; (4)-3,-8; (⑤)一3是，~31 (6)0,-7. [解法举例：(1)7<10.] 5.比较下列各组数的大小，用关系符号“>”连接起来： (1)3.7,+35 (2)-3,0; (3)165,-200: ④-号-1星；回31，-31 (6)-3.1,-3.2. 6.比较下列各组数的大小： ④0，-，-日(用关系符号<连接起来)； ·240 ==========第31页========== 号，星，-3号《用关系符号>连接起来). 7.比较下列各题中两个数的大小： (1)+5,1-6;(2)|+51,1-7;(3)1-71,1-2; (4)-1+51,-1-7;(5)-(-6),-|-이。 8.写出绝对值大于4的三个正数和三个负数；写出绝对值小于3的三个正数和三个负数. 9.写出绝对值等于2的一个正数和一个负数 10.在数轴上指出绝对值等于5的数，这样的数有几个？ 11.写出绝对值小于4的所有整数，这样的数里有几组是相反的数？ 12.写出绝对值大于4而小于8的所有整数. §1·8有理数的加法 在算术里我们学过整数、分数和小数的加法、减法、乘法和除法，应用这四种运算，可以解决许多实际问题.现在我们已经学习了有理数，要应用它来解决更多的实际问题，就需要学会怎样进行有理数的运算. 这一节里，我们先来研究有理数的加法.让我们来看下面的一些问题. 1。符号相同的两个有理数相加 问题1.在一条东西方向的公路上，一个人从甲地出发先向东走4公里，以后又向东走3公里.结果这个人离开甲地几公里？它的位置在甲地的哪一边？ [解】我们可以从下面的图上直接看出，这个人现在在甲地东边7公里 4公里 一3公里 西■ 东 -7公里一 地 图19 ·25t ==========第32页========== 从算术里我们已经知道，这个问题可以用加法来算，但是为了在算式里能够把方向也表示出来，我们取向东的方向作为正方向，那末只要把向东4公里记做+4公里，向东3公里记做+3公里，东边7公里记做+7公里，这个题目的解答就可以列成算式： (+4)+(+3)=+7 答：在甲地东边7公里 问题2.如果在上题中，这个人先向西走4公里，再向西走3公里，结果这个人离开甲地几公里？在甲地的哪一边？ [解1从下图可以看到，他现在在甲地西边7公里. 3公里· 4公里 西 7公里 地 图110 我们仍旧把向东的方向作为正方向，那末向西4公里记做一4公里，向西3公里记做3公里，西边7公里记做一7公里，因为这个题目的性质和问题1是相同的（只是走的方向不同)，仍旧应该用加法来算.这样就要把这个人走了两次以后离开原地的公里数和方向用 (-4)+(-3) 来表示，并且得到算式 (-4)+(-3)=一7， 答：在甲地西边7公里 从上面的两个问题的解答中，我们看到：两个正数相加，它们的和还是一个正数，和的绝对值就是这两个加数的绝对值的和；两个负数相加，它们的和仍旧是个负数，和的绝对值是两个加数的绝对值的和 ·26● ==========第33页========== 2。符号相反的两个有理数相加 问题3.在问题1中，如果这个人先向东走4公里，后来又向西走3公里，那末结果他离开甲地几公里？在甲地哪一边？ [解]从下图中可以看到他应该在甲地东边1公里. ト一4公里 3公里 最讼里 东 图111 我们仍旧把向东的方向作为正方向，那末向东4公里记做+4公里，向西3公里记做一3公里，东边1公里记做+1公里. 因为这个题目的性质还是和问题1相同的（只是两次走的方向不同)，我们仍旧可以用加法来做。这样就要把他最后离开原地的公里数和方向，用 (+4)+(-3) 来表示，并且得到算式 (+4)+（-3)+1, 答：在东边1公里 问题4.如果这个人先向西走4公里，再向东走3公里，结果他离开甲地几公里？在甲地哪一边？ ◆ [解1从下图可以看到，他在甲地西边1公里. 3公松里 西 东 公里是 图112 我们仍旧把向东的方向作为正方向，那末向西4公里只要记做一4公里，向东3公里只要记做十3公里，西边1公里只要记做一1公里. ●27● ==========第34页========== 这个问题的性质还是和问题1相同，所以我们仍旧用加法.把这个人最后离甲地的公里数和方向用 (-4)+(十3) 来表示，并且得到算式 (-4)+(+3)=-1 答：在西边1公里 问题5，如果这个人先向东走4公里，再向西走4公里，结果他离甲地几公里？在哪一边？ [解】很明显，他仍在原地，就是离开原地0公里.象上面的问题3和问题4一样，我们可以用 (+4)+(-4) 来表示他最后离开原地的公里数和方向，并且得到算式 (+4)十（一4）=0 从上面的三个问题的解答中，可以看到，符号相反的两个数相加，它们的和的符号与加数里绝对值大的这个数的符号相同，和的绝对值应该等于加数的绝对值的差；如果这两个数是相反的数，那末和就是0 3。关于零的加法在算术里，我们已经知道一个数和零相加，结果仍旧等于这个数.例如 3+0=3,0+3=3,0+0=0 对于加数中有负数的时候，这个性质还是一样的.例如 (-4)+0=-4,0+(-4)=-4, 读者可以自己用上面的问题来解释这两个式子的实际意义， 4。有理数加法法则把上面这些情祝归纳起来，我们就可以得到有理数的加法法测： (1)正负符号相同的两个数的和，它的符号与这两个数的符号相同，它的绝对值等于这两个数的纯对值的和 4280 ==========第35页========== (ⅱ)正负符号相反的两个数的和，它的符号与绝对值较大的加数的符号相同，它的绝对值等于这两个数的绝对值的差。（特殊情况：两个相反的数的和等于零.） ()零同任何一个数的和，就等于这个数。（特殊情况：零加零等于零.)例1.计算： (1)(+16)+(+24); (2)(+5.36)+(+2.73)； (3)(-16)+(-31); ④(-2)+(-5) [解】 (1)(+15)+(+24)=+39: (2)(+5.36)+(+2.73)=+8.09 (3)(-16)+(-31)=-47; ④(-2)+(-5)=-(2g+5)-营. 说明这里都是两个符号相同的数的加法，只要把它们的绝对值相加，再写上相同的性质符号就是了. 注意正数的性质符号，可以省略，如(+15)+（+24)=+39，可以写成15+24=39 例2.计算下列加法： (1)(+3.5)+(-7.2)； (2)(+364)+(-120)； 8(-8)+(+2号)为 (4)(-6.74)+(+5.74). I解] ·29 ==========第36页========== (1)(+3.5)+（-7.2)=-3.7; (2)(+364)+(-120)=+244; ③)(-3号)+(+2)=-1语 (4)(-5.74)+(+5.74)=0. 说明这里都是两个符号不同的数的加法，要把它们的绝对值相减，求出绝对值的差，再写上绝对值较大的那个加数的符号、 注意正数的性质符号，可以省略.例如(+3.5)+(-7.2)可以 写成3.5(-7.2)(-3号)+(-2)可以写成(-3号)+22，或者写成号+2・ 例3.计算： (1)(+245)+0 ②0+(-3号) (3)0+(+5.32)； (4)0+0. 【解1 (1)(+245)+0=+245 ②0+(-3号)=-3g (3)0+5.32=5.32; (4)0+0=0, 说明这里加数里都有0，和就等于另一个加数.例4.计算： (1)(+15)+(-16)+(-8)+(+9);(②(-3g)+(-2.)+(+5.4+(-7号)[解】依从左到右顺次计算： (1)(+15)+(-16)+(-8)+(+9) =(-1)+(-8)+(+9)=(-9)+(+9)=0 ·80· ==========第37页========== ②)(-3)+(-2.)+(+5.4+(-7) =(-3.6)+(-2.7)+(+6.4)+(-7.2)=(-6.3)+(+6.4)+(-7.2)=(-0.9)+(-7.2)=-8.1. 习题1·8 1.回答下列问题：在算术里，两个数的和会小于任意一个加数吗？在代数里呢？举一个例子. 2.做下列加法： (1)(+172)+(+288); (2)(-31)+(-72); (3)(-103)+(-207): (4)(+15)+(-11); (5)(+284)+(一316)； (6)(-72)+(+28); (7)(-123)+(+319); ⑧(+)+(+)： ((3)+() 0(-3号)+(-号》 (1)(+8号)+(-4号)方 2)(星)+(-7号)月 (13)(-168)+(+12)a4(-3号)+(+5号》 (15)(+8.63)+(+0.7); (16)(-12.43)+(-34.507; (17)(+8.63)+(-6.234); (18)(-32.8)+(+51.76) (19)(+3号)+(+0.3)： (20)(-5号)+(-2.1. 3.计算： (1)(+3)+(+5)+(-7)+(-4)+(-3)+(+6)； (2)(+12)+(-18)+(-23)+(+51)+(-7)+(+4); (3)(-35)+(-6)+(-7)+(+8)+(+9)+(+14)+(+17); ④(+6)+(-6)+(-3.3)+(+3.3)+(+⊙)+(-6. •310 ==========第38页========== §19加法的运算性质 1。加法交换律让我们先看一个问题：一个人在条东西向的公路上第一天向东行0公里，第二天向西行30公里，他所到达的地方，与第-一天先向西行30公里，而后在第二天再向东行0公里所到达的地方，结果是否相同？ 如果我们把向东的方向作为正方向，那末：在第一种情况下 第一天 第二天 西 原地 20公里 50公里 东 图113 得算式 (+50)+(-30)=+20: 在第二种情况下 第二天 西 第一天 y 80公里 原地 20公里 图114 得算式 (-30)+(+50)=+20 两种情祝的结果是相同的，他所到达的地方都是在原地东边20公里.可见 (+50)+(-30)=(-30)+(+50). 同样地， (-3.54)+(-6.27)=-9.81,(-6.27)+(-3.64)=-9.81; e82● ==========第39页========== 、(-3.54)+(-6.27)=(-6.27)+（一3.54)，在算术里，我们曾经学过：加法中任意两个加数，交换它们的位置，它们的和不变，这叫做加法交换律.这个性质对于有理数的加法，也是适用的. 2。加法结合律让我们再看： (1)(3+5)+7=8+7=15, 3+(5+7)=3+12=15, ..(3+5)+7=3+(5+7); (2)[(-3)+(+5)]+(-12)=(+2)+(-12)=-10, (-3)+[(+5)+(-12)]=(-3)+(-7)=-10, .'.[(-3)+(+5)]+(-12) =(-3)+[(+5)+(-12)] 这样的性质，在加法里，对于任意三个加数都是成立的.这种性质叫做加法结合律，那就是：如果有三个加数，先把前面两个加数相加，再加上第三个加数，与先把后面两个加数相加，再和第一个加数相加，结果相同、 例1.计算：3764+2986+6236.[解1]依照从左到右的次序演算： 3764+2985+6236=6749+6236 =12985 【解2]应用加法交换律交换第二个与第三个加数的位置： 3764+2985+6236=3764+6236+2985 =10000+2985 =12985, 显然，第二种解法因为凑成了一个比较整齐的数10000，就比第一种解法简便些。 ●33· ==========第40页========== 例2.计算： (+6)+(-5号)+(+4号)+(+2号)+(-1号)+(-1号) 解]应用加法交换律和加法结合律，把分母相同的数先合并起来： (+6)+(-5号)+(+4)+(+2)+(-넣)+(-1) ー(+6)=(+)+(-)+(-그)+(+2号)+(-1号) -[(+6号)+(+4号】+[(-5号)+(-1号)月4[(+2)+(-1)】 =(+11)+(-7)+(+1)=(+4)+(+1)=5.例3.计算： (+32)+(-18)+(+164)+(-32)+(-164).[解]应用加法交换律与加法结合律，先把相反的数合并成零： (+32)+(-18)+(+164)+(-32)+(-164)=(+32)+(-32)+(-18)+(+164)+(-164)=0+(-18)+0=-18. 例4.计算： (+32)+(-17)+(+167)+(-243)+(+24)+(-7). ·34● ==========第41页========== 【解】应用加法交换律和加法结合律，先把符号相同的数合并起来： (+32)+(-17)+(+157)+(-243)+(+24)+(-7)=(+32)+(+157)+(+24)+(-17)+(-243)+(-7) =(+213)+(-267)=54, 从上面这些例子可以看出，做有理数加法的时候，在下列情况下，一般可以应用加法交换律和加法结合律，使计算变得简便 (1)有些加数相加后可以得到比较整齐的整数时，可先行相加； (2)分母相同或易于通分的分数，可以先行相加； (3)有相反的数可以互相消去得零的，可以先行相加； (4)许多正数和许多负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数与正数相加，负数与负数相加，最后再把一个正数与一个负数相加. 习题19 计算 1.(+132)+(-124)+(-16)+0+(-132)+(+16). 2.（+127)+(+13)+(-300)+(-140)+(-189)+(+300). 3.（+127)+(-373)+(+233)+(-125)+(-12)+(+540). 4.(+6)+(-12)+(+8.3)+(-7.4)+(+9.1)+(-2.5)。 5.(+38》+(+5)+(-22)+(+2》 6.(+7)+(-5)+(-3)+(-6음)(+17불)+(+号) ●35● ==========第42页========== 7.(+3.543)+(-0.543)+(+6.457)+(-0.417). 8.(+3)+(-2)+(-3)+(+6)+(-넣)+(+56) §1·10有理数的减法 在算术里，我们已经知道，减法是加法的逆运算.减法，就是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.这个已知的和在减法里就是被减数，已知的一个加数就是减法里的减数，减法所求得的另一个加数就叫做差.有理数减法的意义还是一样的 例如，在有理数加法中，我们知道 (-4)+（+3)=-1, (1) 写成减法，就是 (-1)-(+3)=-4, (2) 以及 (-1)-(-4)=+3. (3) 现在我们来研究，怎样做有理数的减法.首先我们考虑下面的问题 一1加上什么数，结果是-4？是+3？根据有理数的加法法则，很容易得到 (-1)+(-3)=-4, (4) (一1)十（十4）=+3 (5) 现在来比较上面的(2)和(4).容易看到，（一1）-(+3)的结果和（一1）+（一3）的结果是一样的.就是 (-1)-(+3)=(-1)+(-3). 这告诉我们：一个数减去一个正数，就只要加上它的相 ·86◆ ==========第43页========== 反的数（负数）. 同祥地，比较(3)和(5)，可以得到 (-1)-(-4)=(-1)+(+4). 这告诉我们：一个数减去一个负数，就只要加上它的相反的数（正数）. 这样，我们就把有理数减法的问题，变做了有理数加法的问题来处理了. 一般地，我们有下面的有理数的减法法则：减去一个数.等于加上这个数的相反的数. 注在算术里，我们知道做减法的时侯，被减数不能小于减数.但是有了有理数，因为有理数的加法总是可以进行的，所以有理数的减法，不管被减数和减数有怎样的关系，它总是可以进行的.例如 (+3)一(+4)=(+3)+(-4)=-1. 例1.计算： (1)(+16)-(+12); (2)(+12)-(+16)； (3)(-12)-(+14)； (4)(+10)-(-15)； (6)(-16)-(-20)； (6)(-16)-(-16); (7)0-(+5)； (8)(-5)-0. 【解1 (1)(+16)-(+12)=(+16)+(-12)=+4 (2)(+12)-(+16)=(+12)+(-16)=-4: (3)(-12)-(+14)=(-12)+(-14)=-26; (4)(+10)-(-15)=(+10)+(+15)=+26 (5)(-16)-(-20)=(-16)+(+20)=+4; (6)(-16)-(一16)=(-16)+(+16)=0； (7)0-(+5)=0+(-5)=-5: (8)(-5)-0=(-5)+0=-6或(-5)-0=-5， 典37， ==========第44页========== 例2.计算： (1)(-3)-(-6)-(-8)； (2)(-5)-(+7)+(-9)； (3)(+7)+(-12)-(+9)； (4)(-3)-(-5)-(-7)+(-9).解] (1)(-3)-(-6)-(-8) =(-3)+(+6)+(+8)=+11: (2)(-5)-(+7)+(-9) =(-5)+(-7)+(-9)=-21; (3)(+7)+(-12)-(+9) =(+7)+(-12)+(-9)=-14; (4)(-3)-(-5)-(-7)+(-9) =(-3)+(+5)+(+7)+(-9)=(-12)+(+12)=0. 例3.计算： ④(-8)-(-号λ (2)(-5.46)-(+53):8)(-2.4)-(+3.65)+(1)月 ④(+1.)-(-3号)+(-2号) [解1 ④(-3号)-(-5)-(-3号)+(+5) +16 38年 ==========第45页========== ②)(-5.46)-(+5号)-(-58)-(+5) =(-5器）+(-5号) -10119 150 )(-2.4)-(+3.65)+(-1) =(-2.4)+(-3.65)+(-1.25)=-7.3, ④(+1.)-(-3)+(-22)ー(+)+(+8)+(-)-2끓 习题1·10 1.回答下列问题： (1)在算术里，减法是不是总可以进行？在代数里呢？ (2)在算术里，两个数的差会大于被减数吗？在代数里呢？举一个例子. 2.计算： (1)(+6)-(+11)； (2)(-6)-(+11); (3)(+13)-(-11)； (4)(-13)-(-11); (5)(-13)-(-23)； (6)(-13)-(-13); の(+5)-(-3)： 8(-2)-(+1》 (9)（-1.24)-(+5.73)； (10(-1.12)-(-3写)为 )(+3号》-(+6) (12)(-끄)-(-) (13)(+12)+(-16)-(+7)；(14)(-12)-(+8)+(-13);(15)(-6)-(+6)-(-7);(16)（-1)+(-1.2)-(+3.5)5 ●39· ==========第46页========== (17)(+)-()-(ー)(18)（-3)+(+5)-(+7号) 19)(+)-(-1)+(-)-(-8)-(+4号) (20)(+6)-[(-3)+(-7)]-[(-1)+(-5)-(-8)]. §111减法的运算性质 让我们先看一些例子： 问题1.某生产队要播种水稻63亩，第一天播种了25亩3分，第二天又播种了26亩2分，还有几亩几分要在第三天播种？ 【解1]先计算两天中已播种的亩分数，再从总的计划播种数里诚去，得算式： 63-(25.3+26.2)=63-51.5=11.5(亩). 答：第三天还要播种11亩5分 [解2]从总的计划播种数里先减去第一天的播种数，再减去第二天的播种数，得算式： 63-25.3-26.2=37.7-26.2=11.5(亩). 答：第三天还要播种11亩5分. 两种结果是相同的. 从两种解法中，我们可以得出一个减法的运算性质：从 一个数减去两个数的和，与从这个数连续减去这两个数的结果是一样的.这个性质对于有理数的诚法也是适用的.例如： 问题2.计算：（-36)-[(-54)+(+32)]. ●40· ==========第47页========== 【解11先求括号内的两数和，再做减法 (-36)-[(-54)+(+32)]=(-36)-(-22) =(-36)+(+22) =-14. [解2]从被减数连续减去括号内的两个加数： (-36)-[(-54)+(+32)] =(-36)-(-64)-(+32) =(-36)+(+54)+(-32) =(+18)+(-32) =-14. 两种解法的结果是相同的. 减法的运算性质：从，个数减去几个数的和，等于从这个数连续减去各个加数. 例1.计算：364-[364+（一500）].[解了应用减法的运算性质， 364-[364+(-600)]=364-364-(-500) =0-(-500)=+00. 例2.计算： (-15号)-(-13号)+(-31品)+(+1]. 【解1(-15号)-[(-18号)+(-31号)+(+14] (-1ó号)-(-18号)-(-1品)-(+1=(-2-(-31品)-(+1 一(+296）-(+141ó品 41● ==========第48页========== 例3，计算： (-16)-[(-53)+(-号) +(3号)+(-2号)1. 【解] (-16)-[(-5号)+(-3号)+(+3号)+(-2)】 =(-16)-[-9+1] =(-16)-(-8) =-8. 说明例1与例2，应用减法运算性质，计算比较简便.但在例3里，把括号内四个加数，应用加法结合律，先合并分母相同的数，就比较简便，不必应用减法运算性质. 习题111 用较简便的方法，计算： ュ。(-3)-[(-)+(+5号)] 2.(+163)-[(+63)+(-259)+(-41)]. 3.(-2)-[(+10)+(-8号》+(+3号八 4.(+3.74)-[(+2.74)+(-5.91)+(-2.78)]. 5.(+3.3)-【-38+(-8.4)+(+10号月 6.（-3.635)-[(-2.635)+(-1.456)+(+3.456)1. 7.(-3.635)-[(+3.635)+(-1.635)+(-2)]. 8.（-32)-[(+5)+(-3)+(-5)+(-2小 042● ==========第49页========== §112代数和 看下面的算式： (-5)ー(-3号)+(-7)-(+2号)。 这个式子里，有加法，也有减法 因为减去一个数，就等于加上它的相反的数，所以这个算式里的减法可以转变为加法，即 (-5)-(-3)+(ー7)-(+2)=(-5)+(+3号)+(-7)+(-2) 这样，所有的数都是加数了.那就是说，代数里的加法和减法都可以统一起来变成加法，其中加数或者是正数，或者是负数，或者是0.我们把这样的形式叫做这几个加数的代数和 表示几个正数、负数或者零相加的式子叫做这几个数的代数和. 例如(+1)+(+3)+（一5）+（一11），就叫做+1，+3， 一5及一11四个数的代数和 在一个代数和的式子里，因为所有的运算都是加法，所以运算符号可以省略不写，例如(+1)+(+3)+(-5)十(-11)，可以写做1+3-6一11 注1+3-5-11；可以读做1加3减5再减11，也可以读做+1，+3,一5，-11的代数和，所以这里+3，-5与-11的符号+，一，一等可以当做运算符号，也可以当做性质符号.这就是说，运算符号与性质符号是既有区别又有联系，有时可以互相转化的。 ·43· ==========第50页========== 例计算： -6+7-12+186-8-4号-5号+7毫-10.8 【解1 +7-10.3361 -5+7-12+136-88-41- =7+180-5-12-8-4号+7g-5.5-10.3 =143-105+3-15.8 =146-120.8 =25.2 说阴我]把这一式子当作代数和，应用加法交换律和结合律把易于合并的先合并起来 习题1·12 用简便的方法计算： 1.-12+11-8+39 2.+45-9-91+5, 3.-5-5-3-3 4.-5.4+0.2-0.6+0.8, 5.(-2)+[(+)(-0.5)+(+1)月 6.（+4.4)+[-0.1)+(+8)+(+11号] 7.-6-8-2+3.54-4.72+16.6-5.28, 8.+47 25+1530· 9.0.12-0.54- 10.-528-14.3-8.14 ·44● ==========第51页========== §1·13有理数的乘法 1。两个有理数的乘法我们来看下面的问题 问题1，一列火车在东西方向的铁路上行驶，速度是每小时40公里.如果中午的时候恰巧经过甲车站.问在与中午相距3小时的时候，它离开甲车站多少公里？ 我们知道，这个问题可以用乘法来解决，就是： 速度×时间=路程. 【解] 40×3=120, (1) 答：离开甲车站120公里 在这个问题里，没有指出火车究竟是向哪一个方向行驶，也没有指出这个时间究竟是在中午以前还是中午以后，所以我们计算出来的结果，也只能知道火车离开甲车站的公里数，而还不知道火车究竟在甲车站的东边还是西边. 如果要确切地知道火车在所问的时间究竟在哪里，那末就需要知道火车行驶的方向，是向东还是向西，所问的时间是在中午以前还是在中午以后.在这种情况下，我们就需要用有理数的乘法来解决这个问题 我们规定从西到东的方向作为正方向.那末火车从西到东行驶的速度就可以用正数来表示，从东到西行驶的速度，用负数来表示 例如：每小时向东行驶40公里，记做每小时+40公里， 每小时向西行驶40公里，记做每小时一40公里.火车在甲车站东边时，这段路程可以用正数来表示，在西边时，这段路程就用负数来表示 例如：在东边120公里，记做+120公里， ●45· ==========第52页========== 在西边120公里，记做一120公里， 对于时间来说，我们也可以作这样的规定，以中午时间为标准，午后的时间用正数来表示，午前的时间用负数来表示。 例如：午前3小时，记做一3小时， 午后3小时，记做十3小时 现在，我们来研究问题1里的各种可能情况： 问题2.火车以每小时40公里的速度从西向东行驶，中午经过甲车站，问午后3小时，火车在甲车站的哪一边？离开甲车站几公里？ [解]从下面的图可以看到，这时火车应该在甲车站的东边120公里.（就是离开甲车站+120公里.） 中午 午后1小特午后2小脖午后3小時 十 西 甲車站 十40 +80 +120公里 东 图115 这里速度是每小时十40公里，时间是+3小时 .速度×时间是(+40)×(+3)公里.这段路程是+120公里.我们得到算式： (+40)×(+3)=+120 (2) 答：在甲车站东边120公里， 问题3.火车以每小时40公里的速度，从东向西行驶，中午经过甲车站.间午后3小时，火车在甲车站的哪一边？离开甲车站几公里？ 【解]从下图可以看到，这时火车应该在甲车站的西边120公里.（就是离开甲车站-120公里.） 这里速度是每小时一40公里，时间是十3小时。 ·46● ==========第53页========== 午后3小時 午后2小脖 午后1小特 中午 西 -120y公里 东 -80 -40 甲車站 图116 速度×时间是(-40)×(+3)公里. 这段路程是一120公里.我们得到算式： (-40)×(+3)=-120. (3) 答：火车在甲车站西边120公里， 问题4.火车以每小时40公里的速度，从西向东行驶，中午经过甲车站.问午前3小时，火车在甲车站的哪一边？离开甲车站几公里？ [解]从下图可以看到，为了要火车在中午到达甲车站，午前3小时的时候火车应该在甲车站西边120公里.（就是离开甲车站一120公里.) 午前3小時 午前2小脖 午前1小時 中午 十 西… 东 -120公里 →80 -40 甲重站 火车 图117 这里速度是每小时+40公里，时间是一3小时。 速度×时间是(+40)×（一3）公里. 这段路程就是一120公里.我们得到算式： (+40)×(-3)=-120 (4) 答：火车在甲车站西边120公里 问题5.火车以每小时40公里的速度，从东向西行驶，中午经过甲车站.问午前3小时，火车在甲车站的哪一边？ ◆47• ==========第54页========== 离开甲车站几公里？ [解]从下图可以看到，为了要火车在中午到达甲车站，在午前3小时的时候，火车应该在甲车站东边120公里。（就是离开甲车站+120公里.) 中午 午前1小特 午前2小脖午前3小脖 西 东 甲車站 +40 +80 +120公里 图118 这里速度是每小时一40公里，时间是一3小时. 速度×时间是（一40）×（一3）公里. 这段路程是+120公里.我们得到算式： (-40)×(-3)=+120. (5) 答：火车在甲车站东边120公里 从上面问题2~问题5的解答中，可以发现一个重要的事实.在（②）和（⑤）里，我们做的是两个符号相同的有理数的乘法，我们看到： 符号相同的两个有理数相乘，它们的积应该是一个正数，积的绝对值就是两个因数的绝对值的积 在(3)和(4)里，我们做的是符号相反的两个有理数的乘法，我们看到： 符号相反的两个有理数相乘，它们的积应该是一个负数，积的绝对值等于两个因数的绝对值的积 很明显的，在上面的问题里，如果速度和时间中有一个是零，或者两个都是零，那末火车仍旧在甲车站，也就是说，火车离开甲车站的距离是零.这就说明了： 任何一个有理数和零相乘，积是零， ·48◆ ==========第55页========== 例如： (+40)×0=0,0×(+3)=0,(-40)×0=0, 0×(-3)=0, 0X0=0 把上面这些情况综合起来，我们得到有理数的乘法法则： (1)正负符号相同的两个数的积是，个正数，它的绝对值等于这两个数的绝对值的积； (ⅱ)正负符号相反的两个数的积是一个负数，它的绝对值等于这两个数的绝对值的积； (i)零同任何一个数的积总等于零. 为了便于记忆，我们把上面(1)、()两条法则，概括起来，得到决定积的符号的口决：同号相乘得正数，异号相乘得负数. 例1.计算 (1)(+12)×(-16)； 2)(-10)×(+是) (3)(-3)×(-0.3)； (④(-)×(-号) (5)(0)×(-16)； (6)(-3.6)×(+13) [解] (1)(+12)×(-16)=-192; ②)(-10×(+》=-5， (3)(-3)×(-0.3)=0.9; (4)(-6)×(-8풍)=(-芸)×(-1) =+=18哈 (5)(0)×(-16)=0; ●49。 ==========第56页========== ((-8)×(+1号)-(-)×(+) 3 习题1·13(1) 做下列乘法(1~12) 1.(+5)×(-8). 2.(-5)×(-7). 3.(-12)×(+17).! 4.(-8)×(-星) 5.(+32)×(-5号) 6.(-0.4)×(-0.2). 7.(-3.125)×(+8). 8.（-0.1)×(-0.1). 9.(+3.732)×0, 10.0×(-3) 11.(-0.625)×(+16). 12.(-7.23)×(+3) 计算(13~16)： 13.(-5)×(-3)+(+7)×(-2). 1.(+》×()-(-1》×(1) 15.(3.54-5.28)×(-2). 16.(63-84)×(+1) 2。三个或三个以上有理数的乘法例2.计算： (1)(-3)×(+5)×(-2)； (2)(-1)×(-5)×(+3)×(-4)×(+2). 【解]依照由左向右的顺序进行： (1)(-3)×(+5)×(-2)=(-16)×(-2) =+30; ·50• ==========第57页========== (2)(-1)×(-5)×(+3)×(-4)×(+2) =(+6)×(+3)×(-4)×(+2)=(+15)×(-4)×(+2) (-60)×(+2)=-120. 注意(1)里有两个负数，乘积是正数；(2)里有三个负数，乘积是负数.我们也可以先把各因数的绝对值相乘，再根据负号的个数是偶数或者奇数，确定积是正的或负的 从上面的例子，我们可以看出：三个或者更多个有理数的乘法，可以由左向右逐一进行.但为了方便起见，我们也可以把三个或者更多个有理数的乘法，分为定性质符号与定绝对值两步，得到三个或者更多个有理数的乘法法则 (1)定正负符号：如果因数里的负号有偶数个（如两个、四个、六个…)，那末所得的积是正数：如果因数里的负号有奇数个（如一个、三个、五个…），那末所得的积是负数。 (ⅱ)定绝对值：把各因数的绝对值相乘，所得的积就是积的绝对值. 例3.计算 (1)(+2)×(-1)×(+3)×(-10)×(-4)×(-5); ②(+)×(-)×(-5)×(-1号) [解](1)这里有四个负号，积是正的. '.(+2)×(-1)×(+3)×(-10)×(-4)×(-5) =+(2×1×3×10×4×5)=1200: (2)这里有三个负号，积是负的. .(+3)×(-)×(-53)×(-1号)(×xx)--2뭉 15 a510 ==========第58页========== 习题1·13(2) 计算： 1.(-4)×(+96)×(-25). 2.（-6)×(2.5)×(-0.04). 3.（-)×(+2.4)×(+) 4.(+1.2)×(-40)×(-8). 5.(-8)×(-4)×(+25)×(-125). 6.(-3.2)×(+2)×(-1)×(-6)×(-3.8). 7.（-0.2)×(-0.2)×(-0.5)×(-0.5). 8.（-8)×(-12)×(-0.125)×(-号)×(-0.01. 9.(-1号)×（一1）×(-1)x(-1)×(-1넣)x(-1). 10.(-0.1)×(-10)×(-0.01)×(-100)×(-0.001) ×(+10000). §114乘法的运算性质 1。乘法交换律在算术里，我们已经学习过乘法交换律，如 5×8=8×5, 就是，两个因数交换位置，乘积不变. 乘法交换律，对于有理数也是适用的，例如 (-8)×(+6)=(+6)×(-8)=-48;(-3)×(-4)=(-4)×(-3)=+12; 0×(-7)=（-7)×0=0, ·52· ==========第59页========== 乘法交换律：两个数相乘，交换它们的相互位置，它们的积不变 2.乘法结合律我们来看下面的计算： (3×2)×5=6×5=30 3×(2×5)=3×10=30: ..(3×2)×6=3×(2×5) 对于有理数，同样地我们有 [(-3)×(-5)]×(+7)=(+15)×(+7)=+105,(-3)×[(-5)×(+7)]=(-3)×(-35)=+105;'.[(-3)×(-5)]×(+7)=(-3)×[(-5)×(+7)].这个性质，就是如下的乘法结合律：三个因数相乘，先把前面两个因数相乘，再乘以第三个因数；所得的结果与先把后面两个因数相乘再乘以第一个因数所得的结果是相等的.换句话说，因数可以任意结合. 3。乘法对于加法的分配律我们来看下面的计算： 5×(4+8)=5×12=60 5×4+5×8=20+40=60: .'.5×(4+8)=5×4+5×8. 对于有理数，同样地我们有 (-3)×[(-2)+(+5)+(-11)]=(-3)×(-8)=+24, (-3)×(-2)+(-3)×(+5)+(-3)×(-11)=(+6)+(-15)+(+33)=+24,∴.(-3)×[(-2)+(+5)+(-11)] =(-3)×(-2)+(-3)×(+5)+(-3)×(-11). ◆53● ==========第60页========== 这个性质，就是如下的乘法对于加法的分配律：一个数与儿个数的和相乘所得的积，等于这个数与各个加数分别相乘所得的积的和. 例1.计算：(+8)×(+186)×(+号)×(-)分析这里8×言=1,136×品-2，所以可以应用乘法交换律与 乘法结合律，使运算简便. 解](+8)×(+186)×(+君)×(-) =(+8)×(+号)×(+186)×(-) 1X(-2)=-2 例2.计算：(-105)×[(-)+(-)+(+号)小 分析这里三个加数分母不相同，通分较繁，可以应用乘法对于加法的分配律，先乘后加 [解】(-10)×[(-)+(-)+(+号)月 =(-105)×(-)+(-106×(-号)+(-105)×(+号) =(+35)+(+21)+(-16)=41. 例3.计算：（-53)×(-3.54)+(-53)×(+4.54).分析这里乘法较繁，但在两个乘法里都有因数一53，且一3.54与4.54的和是1，很简单，可以反过来应用乘法对于加法的分配律，先加后乘 [解1(-53)×(-3.54)+(-53)×(+4.64) =(-63)×[一3.54+4.54]=(-53)×1=-53. ●54● ==========第61页========== 习题114 用简便的方法计算 1.125×374×9×8×日. 2.(-3号)×(+246)×(-是)×(-量) 3.(-354)×(-3)+(-354)×(+5)+(-354)×(-2). 4.(-6)×[(+)+()+(-品)] 5.(+37)×(-125)×(+4)×(-4)×(-2)×(+25). 6.(+74)×(-1280)+(+74)×(+1140)+(+74)×(+141). 7.（-124)×(+38)+(-124)×(+51)+(-124)×(+14)+(-76)×(+96)+(-76)×(+7). 8.[(÷)+()+(-】×(+60). §1·15有理数的除法 在算术里，我们已经知道，除法是乘法的逆运算，就是：已知两个因数的积与其中一个不等于零的因数，求另一个因数的运算.这个已知的积在除法里叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，求得的结果就是另一个因数，在除法里叫做商.有理数除法的意义还是一样。象有理数的减法一样，我们可以从这个逆运算关系来研究有理数的除法法则、从乘法 (+7)×(+3)=+21, 依照逆运算关系，可得 (+21)÷(+8)=+7. (1) 从乘法 55· ==========第62页========== (+7)×(-3)=-21, 依照逆运算关系，可得 (-21)÷(-3)=+7. (2) 从乘法 (-7)×(+3)=-21, 依照逆运算关系，可得 (-21)÷(+3)=-7. (3) 从乘法 (-7)×(-3)=+21. 依照逆运算关系，可得 (+21)÷(-3)=-7. (4) 从乘法 0×(小3)=0，及0×(-3)=0， 依照逆运算关系，可得 0:(+3)-0, (5) 0÷（-3)=0. (6) 从上面这些例子中，可以看出： (1)正数除以正数，商是正数；(②)负数除以负数，商也是正数； (3)负数除以正数，商是负数： (4)正数除以负数，商也是负数； (5)零除以王数，商是零； (G)零除以负数，商也是零. 至于商的绝对值，则在任何一个情况下，都等于被除数的绝对值除以除数的绝对值所得的商 综合上面的结论，就得到有理数除法法则： (1)正负符号相同的两个数相除，商是，个正数，它的绝对值等于这两个效的绝对值的商； ·56· ==========第63页========== (ⅱ)正负符号相反的两个数相除，商是一个负数，它的绝对值等于这两个数的绝对值的商； (i)零除以一个不等于零的数，商是零 为了便于记忆，我们把上面(1)、()两条法则，概括起来，得到决定商的正负符号的口决：同号相除得正数，异号相除得负数。 这里还必须注意：零不能做除数，任何数除以零没有意义，零除以零也没有意义，在有理数范围内，和在算术里一样，我们仍旧作这样的规定. 例1.做下列除法： (1)(+48)÷(+6)； (2)(-48)÷(-6): (3)(-0.4)÷(+0.002)；(4)(+1)÷(-1)； ⑤)(-3号)=(-5号)为（⑥）(+3.3)÷(-3)0)(-2号)÷(-)×(-3})为 ⑧(-8)÷(+2号)÷(+1号) 【解] (1)(+48)÷(+6)=+8: (2)(-48)÷(-6)=+8; 8)(-0.4)÷(+0.02)=-04=-400。-20, 0.0022 (4)(+1)÷(-1)=-1; ⑤)(-8号)(-)-+（号÷号） 끓x료-중 ·57● ==========第64页========== (6)(+3.3)-(-号) -器(-)33 -(×品)=，99 m(-2号)÷(-)×(-3号)=+(停×)×(-) =+日×(-) - ()(-8)=(+2)-(+号) -(-9)×(+)×(+) -(1x)-5042 --4 例2.化简下列分数： (1) (2)10 -6￥ (3)-12 18； (4) 【解1 (1) 55 (2)~0 6 () ·58● ==========第65页========== (3)·-(》+ (4)一ニ---41 从上例可以知道：一个分数有三个地方有性质符号：分子，分母与分数本身，如果三个地方有两个负号，这两个负号可以互相约掉。 习题115 计算： 1.(-128)÷(-4). 2.（+)÷(-). 3.(-6)÷(+10). 4.(-》(+) 5.(+14)÷(-0.4). 6.(-0.02)÷(+0.1) 7.0÷(-16). 80÷(+号》. 9.(+5)÷(-号) 10.(-3号)÷(+1) 11.(-0.5)÷(-0.32). 2.(-3(+） 18.(+号》(-5. 14.3÷(-0.3). 15.-0.3 16.1。 0.3 1 17.1 -2 18.3一 -2 19.(-0.3)÷(+3)÷(-9y. 20.(3)(0g)(-》 •59◆ ==========第66页========== §116倒 数 在算术里，我们学到过： 3÷景-3×易，11÷12=1×1就是。一个数除以号等于这个数乘以；一个数除以12等于这个散桑以品，这里号与身，2与，有一个共同的 性质：乘积等于1， 如果有两个数的乘积等于1，那末它们叫做互为倒数.这两个数中的每一个就叫做另一个的倒数 例如号的倒数是。，昌的倒数是号，号与鸟耳为倒数：12的倒数是立，立的倒数是12，豆与12互为倒数。 要求一个数的倒数，只要把1除以这个数，所得的商就是 它的倒数。例如-8的倒数是一}，一1号倒数是 因为一个数除以另一个数，就等于第一个数乘以第二个数的倒数，这样，我们可以利用倒数把除法转化为乘法。这个性质，在有理数里也是适用的. 习题1·16 1.求下列各个数的倒数：13，-7，是，-，1，-1,03. 2.一个正数的倒数是怎样的数？一个负数的倒数是怎样的数？ ·60● ==========第67页========== “零”有没有倒数？ 3,有没有一个数的倒数就是这个数本身？有几个？哪几个？4。求下列各数的倒数，和这些倒数的相反的数： -13,200,0.03,-0.1 5.求下列各数的相反的数，和这些相反的数的倒数： -5-16,+8。 6。求一号及号的倒数的和，它们的和的倒数 7,把下列除法，转化为乘法演算： (-号)(-： ②3÷() §1.17除法的运算性质 1,除法的运算性质1我们来看下面的问题： 问题1.有货物一批，要运往农村支援农业生产，共重72吨.现在有3条船，每船的载重量是6吨，一共要装运几次？ [解1]可以这样考虑每装运一次，3条船共可以装运6×3吨，得算式： 72÷(6×8)x72÷18=4, 答：共装运四次， 【解2】也可以这样考虑：每船每次装运6吨，一共要装72÷6船，现在有3条船同时装，要再除以3，得算式： 72÷6÷3严12÷3=4， 答：共装运四次， 这两种算法的结果是一样的.那就是说：一个数除以两数的积，所得的商和这个数连续除以这两个数最后所得的商 g61◆ ==========第68页========== 是相等的.这一性质还可以推广到一个数除以两个以上的数的积.事实上，这一性质可以从倒数概念和乘法的运算律得 出，例如 2+(×)-2×-7x금-2+6-3。 这一性质，也适用于有理数的除法，例如 (-32000)÷[(-32)×(+8)]=(-32000)÷(-256)=125,(-32000)÷[(-32)×(+8]=(-32000)÷(-32)÷(+8)=1000÷8=126 它们的结果相同 除法的运算性质1：·一个数除以几个数的积，等于把这个数连续除以各个因数. 2。除法的运算性质2我们再来看下面的问题问题2，有3亩棉田，第一次采镝籽棉300斤，第二次采摘籽棉180斤，第三次又采摘籽棉13斤，总共在三次里平均每亩已采摘了几斤籽棉？ [解11三次一共采摘了(800+180+153)斤，再除以3，得算式： (300+180+153)÷3=633÷3=211, 答：三次总共已采摘籽棉平均每亩211斤 [解2】也可以计算每次每亩平均采摘数，再行相加，得算式： 300÷3+180÷3+153÷3=100+60+51=211, 答：三次总共已采摘籽棉平均每亩211斤 这两种算法的结果是一样的 这个性质，也适用于有理数的除法，当然除数不允许是 ●62● ==========第69页========== 零.例如 [(-16)+(-50)+(+3号)]÷2 ” -(-62g)片2=-1品 也可以这样算： [(-16)+(-60)+(+3号)】÷2=(-16)÷2+(-50)÷2+(+3号)÷2 -(-8)+(-25)+(+10)）-81是 这个性质，也可以从倒数概念和乘法运算定律得出，例如 [(-16)+(-60)+(+3号)]÷2=[(-16)+(-0)+(+3号)】×3 -(-18)×受+(-50)×号+(-+8号)×=(-16÷2+(-60)÷2+(+3号)÷2. 一般地说，我们有除法的运算性质2：几个数的和除以个数，等于把各个加数分别除以这个数，再把各个商相加。 例1.计算：(-115)÷[(-11)×(+3)×(-5)].[解】应用除法的运算性质1，把被除数连续除以除数里各个因数： (-1155)÷[(-11)×(+3)×(-5)]=(-1156)÷(-11)÷(+3)÷(-5)=105÷3÷(-5)=35÷(-6)=-7. 说明这样做数字较小，可以心算。 63 ==========第70页========== 例2.计算：（-170000)÷(-16)÷（一25）÷(-26).[解】应用除法的运算性质1，把各个除数先乘起来：(-170000)÷(-16)÷(-25)÷(-25) =(-170000)÷[(-16)×(-25)×(-25)]=(-170000)÷(-10000)=17.说明如果逐步由左到右，计算就较綮， 例3.计算：[(-1236)+(+570.6)+(-273)]÷3.[解]应用除法运算性质2，先除后加：[(-1236)+(+570.6)+(-273)]÷3 =(-1236)÷3+(+670.6)÷3+(-273)÷3=(-412)+(+190.2)+(-91)=-312.8.说明先除后加，数字较小， 例4，计算：（-125)÷3+(-62)÷3+(+187)÷3.[解]应用除法运算性质2，先加后除： (-126)÷3+(-62)÷3+(+187)÷3=[(-126)+(-62)+(+187)]÷3m0÷3=0 说明先除后加，不能整除，所以先加后除，比较方便。 习题1·17 用较简便的方法计算： 1.(-132639)÷[(-13)×(+3)]. 2.(-1536)÷[(-2)×(-3)×(-32)]. 3.75÷(-)÷(-) 4.[(-143)+(-390)+(+1326]÷(-13). 5.(-125)÷13+(+325)÷13+(+1100)÷13 6.（-1号)÷6+(-5号)÷5+(-1967)÷5+(+76号)÷5 64 ==========第71页========== §118有理数的乘方 我们来看下面的问题： 问题1.一块正方形的地的一边长8米，它的面积是多少平方米？ [解]可以用乘法计算： 8×8=64 答：这块地的面积是64平方米 8米 8米 8米 8米+ ト8米 图119 图120 问题2.一个正方体的每一条棱长是8米，它的体积是多少立方米？ 解]也可以用乘法计算： 8×8×8=612. 答：这个正方体的体积是512立方米 上面两个问题里的乘法都是相同因数的乘法.为了简便起见，我们把8×8用82来表示，把8×8×8用88来表示.这就是说：相同因数的乘法，我们可以只写出一个因数，而在这个因数的右上角写上相同因数的个数、 同样地，3×3×3×3可以用34来表示； ·65· e ==========第72页========== (-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)可以用(-1)5来表示、 求相同因数的积的运算叫做乘方，这个相同的因数叫做底数，相同因数的个数做指数，几个相同因数的积叫做底数的几次方，或者几次幂.例如82读做8的二次方或者8的二次幂，也叫做8的平方；83读做8的三次方或者8的三次幂，也叫做8的立方；34读做3的四次方或者3的四次幂，(-1)5读做一1的五次方或者一1的五次幂.这里8,3，-1等是底数，而右上角的2,3,4,5等分别是指数. 附注一个数也可以当做这个数的一次幂或一次方，例如5可以看做51，而这个指数1字是省略不写的， 乘方就是相同因数的乘法，所以有理数的乘方，就只要依照有理数的乘法法则进行计算 例1.计算：（-2)；(-2)3；(-1)4；(-1)5. L解1(-2)2=(-2)×(-2)=+4 (-2)3=(-2)×(-2)×(-2)=-8: (-1)4=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)=+1;(-1)5=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-i) =-1. 在这个例子里，可以看到：底数是负数时，它的偶次幂是正数，奇次幂是负数 这样，我们就得到下列乘方的运算法则 (1)正数的乘方，不论任何次幂，都是正数； (ⅱ)负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数；(iii)零的任何次幂都是零； (v）幂的绝对值，就是底数的绝对值按指数的次数实际进行乘法运算的结果。 ·66· ==========第73页========== 例2.读出下列各式子，并说明这个幂里面的底数和指数： (-3)8;(+2):（号》：(-1吗(-0.3. [解] (一3)：读做“负三的二次幂”或“负三的平方”，底数是 -3,指数是2 (+2)4:读做“正二的四次幂”，底数是+2，指数是4； ():读做“三分之二的三次幂”，或“三分之二的立方”，底数是号，指数是3， (一1)1：读做“负一的五十一次幂”，底数是一1，指数是51; (-0.3):读做“负十分之三的五次幂”，底数是-0.3，指数是5. 例3.计算： (1)35, (2)24; (3)(-1)2; (4)(-2)3; (5)(-3), (6)(-1)200; (7)(0.1)2; (8)(-0.1), (-》: (). (10) [解] (1)35=243; (2)24=16: (3)(一1)3=+1； (4)(-2)8=-8; (6)(-3)2=+9: (6)(-1)100=+1; (7)(0.1)2=0.01: (8)(-0.1)2=+0.01; 。67● ==========第74页========== の（一3+10(》°-器64· 例4.计算：(1)23，(2)32；(3)2×3；并说明它们的区别 [解1(1)23=8；(2)32=9；(3)2×3=6,28是2的立方，就是2×2×2；3是3的平方，就是3×3；2×3是两个不同的因数2与3的积，这三个式子是不相同的.例5.说明下面两个式子的区别并分别计算出绮果来： (-3) -32. [解】 (-3)2等于(-3)×(-3)，读做“负三的平方”， (-3)2=（-3)×(-3)=+9 一32等于一(3×3)，读做“负的三平方”， -33=-(3×3)=-9, 习题118 1.把下列各个式子读出来，说明它的底数和指数，用乘法式子来表示它，并算出结果： (1)53; (2)（-2)； (》; ④( 2.计算： (1)34; (②)25； (3)(-3)4; (4)(-2)5; (5)0; (6)(-1)2; (7)(-1), (8)(-5)4. 3,计算： (1)(得： (2)(》: ●68· ==========第75页========== (-》; ④(-； (》 (⑤ @(》； cの(-登)： 8(-》. 4.计算： (1)(0.1)2: (2)(-0.1)2; (3)(-0.1)8; (4)(0.02)4; (5)(-0.3)8; (6)(-0.7)2; (7)(0.03)3； (8)(-1.2)3. 5.计算： (1)(-1)100; (2)(-1)127; (3)(-1)1916; (4)(-1)3083. 6.计算 (1)（-5)2; (2)-5; (3)-1100； (4)(-1)100: の(-) @-(侵》； の(-) -(层. §1·19一位数与两位数的平方表 下页的表是一位数与两位数的平方表，从这个表上，我们可直接查得从1到99的各正整数的平方，减少计算的麻烦. 表的查法： 从左面直列内看底数的十位数字所在的横行.从上面横行内看底数的个位数字所在的直列表内直列与横行交叉地方的数就是所求的平方数.例1.从表查37和722， ·69· ==========第76页========== 个位 十位数字 0 2 3 4 6 7 9 数字 0 0 9 16 25 36 49 64 81 1 100 121 144 169 1965256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 676729784 841 900 961 1024 1089 1156 12251296 1369 14441521 1600 1681 1764 1849 1936202521162209 23042401 2500 2601 2704 2809 2916 30253136 3249 33643481 6 36003721 3844 3969 4096 4225356448946244761 7 4900 5041 5184 5329 547656255776592960846241 8 6400 6561 6724 6889 705672257396756977447921 9 8100 8281 8464 8649 883690259216940096049801 解】从平方表上，看左面直列里的3字所在的横行与上面横行里7字所在的直列.从这横行向右，这直列向下到交又处查得 372=1369 同样，从平方表上，查得 722=5184. 因为负数的平方等于正数，而它们的绝对值和它们的相反的数的平方的绝对值相同，所以从这个表上，我们也可以查负的一位数或两位数的平方 例2.从表查(-73)及(-86)2， [解]从平方表，732=5329，.∴.（-73)2=+5329； 862=7396,..(-86)2=+7396 习题119 1.应用平方表查下列各个幂的值： (1)563; (2)（+85)2;(3)（-34)2; (4)(-97)2 。70● ==========第77页========== 2.应用平方表，计算下列各式的值： (1)(-59)2; (2)-892; (3)-(-79)3; (4)-683, 3.应用平方表，计算下列各式的值： (1)322+562; (2)712-932; (3)-722-542: (4)-332-(-44)2, 4,观察平方表，回答下列问题： (1)一位数的平方会等于或大于100吗？ (2)二位数的平方会小于100吗？会大于或等于10000吗？ (3)一位数的平方是几位数，你能够说明它的范围吗？ (4)二位数的平方是几位数，你能够说明它的范围吗？ §120有理数的运算顺序 到这里为止，我们已经学过有理数的加、减、乘、除和乘方 五种运算.这五种运算里 加、减法叫做第一级运算，乘、除法叫做第二级运算，乘方叫做第三级运算. 在具有各种运算的式子里，对于有理数的运算顺序，和算术里一样，作如下的规定： (1)如果没有括号，那末运算顺序是：先做第三级运算，乘方；次做第二级运算，乘、除；再做第一级运算，加、诚.(ⅱ)在同一级的几个连续运算中，依照由左到右的次序进行演算 (i)有括号的部分，括号里的运算先做. 遇有可以应用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律或乘法对于加法的分配律和减法及除法运算性质使演算比较简便的地方，可以应用这些性质，变更上面规定的运算顺序。 71● ==========第78页========== 例1.计算： (-智)×(-4到°-0.25×(-6×(-49. 【】（-8)×(-42-0.25×(-)×(-4到3 -(-8）×(+16-0.25×(-×(-69 =-10-(+80)=-90. 说明先做乘方，再做乘法，再做减法. 例2.计算：{(+12)÷[(-3)+(-15)]÷5}.·[解1{(+12)÷[(-3)+(-15)]÷5}3 ={(+12)÷(-18)÷5}3 ー{ー+ず"=(-옳)-8 说明因为有括号的关系，先做中括号里的加法，再做大括号里的除法，再做乘方 例3.计算： (-)×(-3)+(-)×(-39)+(+12)×(-3) [解】应用乘法对于加法的分配律： (-)×(-39)+(-7)×(-39)+(+12)×(-39) -[-)+(-)+(+121×(-89)=0×{-39)-0. 习题1·2① 计算： 1.(-5)×(-4)+3×(-2) ·72◆ ==========第79页========== .号+(-)8 3.12×(-星)-(-16)×1导. .[(-1号)+(-号月÷(-2列. 5.(-12)÷(-3)2+(-15)÷5. 6.(-1)-(-52)×年+(-8)÷[(-3)+51. 7.[0-(-3)]×(-6)-12÷[(-3)+(-15)÷5]. 8.-8写-[2×（←）+0.2+1号÷] 9.2x(-)ー3x(-)+3×(-)-1. 10.-22-(-2)2-23+（-2)3. 本章提要 1.本章的几个重要概念数轴，数的绝对值，相反的数，倒数，代数和. 2.有理数的分类它有两种分法： 正整数（自然数） 正有理数 非有 正分数（包括正的可以化成分数的小数） (1) 零 负数 数 负整数 负有理数负分数（包括负的可以化成分数的小数） 正整数) 非负整数 整 数零 (2) 【负整数 数 正分数 分 数负分数 8.有理数的运算 (1)运算种类一加、减（第一级），乘、除（第二级），乘方（第三级）. ◆73· ==========第80页========== (2)运算法一有理数加法法则；有理数减法法则； 有理数乘法法则；有理数除法法则；有理数乘方的法则. (③)运算性质-一加法交换律，加法结合律； 乘法交换律，乘法结合律，乘法对于加法的分配律； 减法运算性质；除法运算性质（二条） (4)运算顺序一先做括号内.除此之外，先第三级运算，次第二 级运算，再第一级运算；同级运算，从左到右. 复习题一 (这里及以后标有号的题目，做起来如有困难，可以暂时略去.) 1.画一个数轴，并在数轴上指出绝对值大于2而小于5的所有整数的各对应点 2.画一个数轴，并在数轴上指出绝对值不大于3的所有正整数的各对应点. 3.0是最小的有理数吗？最小的整数吗？有没有最小的有理数？有没有最小的整数？ 4.0是绝对值最小的有理数吗？0是绝对值最小的整数吗？ 5.写出大于一3而小于4的所有整数6,写出绝对值大于3而小于8的所有整数 7.写出绝对值不大于7而又不小于5的所有整数。 8.写出绝对值大于5.1而小于9.3的所有负整致.9,求出绝对值大于1而小于4的所有正整数的和. 10.求出绝对值不小于2而又不大于4的所有整数的积. 11.比较下列各组效的大小，用大于号连结起来： (1)-3,-5; (2)~공，,-0.3;(3)1-51,1-71; ④-1-5，-1-71：（⑤-高-0.07. 12.求出上题中各组数的差，使差是正的。 。74● ==========第81页========== 13.求一15与+7两数的和，求它们的和的绝对值，求它们的绝对值的和 14.求-3，一5，+1.4三个数的和的绝对值，求它们的绝对值的和。 15。求一号与+告的和的相反的嫩：求-号与+号的和的倒数。 16.求-5与一青的相反数的和求-5与-号的倒数的和. 计算(17~36题)： 17.(-1249)+(-851)+(+379)+(-224)+(-179)+(-376). 18.(-375)-(-175)-(-300)+(-542)-(+377)-(-1600). 19.3-51-1(-3)-(-5)}+1(-243)+(-357)1. 20.(》-(-号)-(-5号)-(-引 21.(-3)×(-8)+(+5)×(-7)-(-2)×(-8)-(+4) ×(+12). 22.(-1000)÷(-250)×(+36)÷(-144). 23.(-)+(-6)=(+1)-(-)×(+음)。 24.(+3)+(-)-(-고)-(-+)+(+12) -(-14) 25.[（-15e〉-(-1488】×0.3÷(-0.2. 26[（-172》+(+10号)-(+3】÷(-0.8÷(-0.2. .[(-》-(-始〗号-(-》 28.(宽-)×[+（←小 29.(-1)×-(-)x(-2.6)-(-0.25)x를 ×号(》. 075· ==========第82页========== 30.(-0.2)8-(0.3)8+(-0.12)2-(-0.15)2。 31.（-1)1824+(-1)57-(-1)365 2.[2号×(-1号)+(-5号)(-1g. 83.号÷(-)+(-0.4)×(-6】÷(-)-0} ×(-1)87. 84.-0.2)5“(-0.1) 36。-9×(1.23-(-0.3+(-)×(-3+(ー) 36 3x(-)-~x(-)x1날-4(1) 2×(-)×(1)》-1 37.两个数的和一定大于两个加数吗？举出一个反面的例子. 8.两个数的差一定小于被减数吗？举出一个反面的例子. 39.两个数的积一定大于两个因数吗？举出一个反面的例子. 40.两个数的商一定小于被除数吗？举出…个反面的例子. 41.一个数的平方一定大于原数吗？举出一个反面的例子. 42.一个数的立方一定大于原数吗？举出一个反面的例子. 43.一个有理数的平方总是正数，这句话对吗？什么时候不对？ 44.一个有理数乘以什么数，总可以得到它的相反的数？一个有理数除以什么数，总可以得到它的相反的数？ 45.有没有一个数的相反的数就是这个数本身？有几个这样的数？ 46.有没有一个数的倒数就是这个数本身？有几个这样的数？ 47.那样的数的相反的数比它本身大？比它本身小？等于它本身？ 48.那样的数的倒数比它本身大？比它本身小？等于它本身？[提示：研究下列各种情况：(1)大于1的数，(2)1，(3)小于1的正数，(4)大于一】的负数，()-1，(6)小于一1的数.] ·78· ==========第83页========== 第二章代数式 在上一章里我们学习了关于有理数的知识.从算术里的数扩大到有理数，这是从算术到代数的一个重大的发展。现在，我们还要学习从算术到代数的另一个重大的发展一用字母表示数. §2·1用字母表示数 我们曾经在有理数这一章里学到过加法交换律.就是：在加法里，两个加数的前后位置，可以互相对调，它们的和相等。 但是，这句话写起来比较长，领会起来有时也不太容易。可不可以用比较简单明确的方法来叙述呢？ 如果我们用两个字母和b来表示这两个加数，那末，加法交换律就可以用 a+b=b+a 来表示，它就很简单，而且很明确 在算术里，我们知道做两个真分数或假分数的乘法只要把分子分母分别相乘，如果我们用字母a和b分别表示-一个分数的分子和分母，字母c和d分别表示另一个分数的分子和分母，这个运算法则就可以简单明确地表示成 用同样的方法，我们可以把分数的除法法则表示成 。77● ==========第84页========== 在生产、学习、生活和科学研究上，我们会碰到许多计算的公式，用字母来表示有关的数，就可以使这些公式大大简化例如，在算术里，我们学过矩形（长方形）的面积计算公式是：面积=长×宽；正方形的面积计算公式是：面积=边长×边长等。如果我们用字母S表示矩形或正方形的面积，字母b和h表示矩形的长和宽，a表示正方形的边长，那末这两个公式就可以写成 矩形的面积公式： S=b×h, 正方形的面积公式： S-axa-a2 这样就很简单明确 例用a,b,c等表示任意有理数，把第一章里面学到过的一些运算性质表示出来[解] 加法交换律： a+b=b+a; 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); 乘法交换律： aXb=b×; 乘法结合律： (a×b)×c=a×(bXc); 乘法对于加法的分配律： ax (b+c+d)=axb+axc+axd: 减法的运算性质： a-(5+c+d)=a-6-c-d 780 ==========第85页========== 除法的运算性质： (1)a÷(b×c×d)=a÷b÷c÷d (2)(a+b+c)÷d=a÷d+b÷l+c÷d, 习题2·1 1,用字母来表示有理数的减法法则：从一个数减去另一个数，等于这个数加上另一个数的相反的数 [提示：以字母a表示一个数，用字母b表示另一个数，那末另一个数的相反的数就可以用-一b来表示.了 2.用字母来表示分数的基本性质：一个分数的分子分母同乘以一个不是零的数，分数的值不变 [提示：把分数的分子分母分别用字母a和b来表示，一个不是零的数用m来表示.] 3.一个三角形的面积等于它的底边与高的乘积的二分之 高h 一，即 三年形的面积=司×底边×高。 底b 如果用字母S表示三角形的面 (第3题) 积，b表示它的底边，h表示它的高，试用S,b,h写出三角形的面积公式 4.一个平行四边形的面积等于它的底边与高的乘积.用字母S表 示面积，b表示底边，h表示高，试用S,b,h写出平行四边形的面积公式。 高h 。牛篷 底b (第4题) (第5题) ·79 ==========第86页========== 5.一个圆的周长等于它的半径乘以圆周密的2倍，如果用字母 C表示圆的周长，？表示半径，用希腊字母匹表示圆周率，写出圆的周 长的公式 6.一个圆的面积等于它的半径的平方乘以圆周率.如果用字母$表示圆的面积，表示它的半径，用希腊字母表示圆周率，写出圆的面积公式 7.一列火车行驶的距离等于它的平均速度乘上行驶的时间.如果用字母s表示它行驶的距离，心表示它的平均速度，t表示它的行驶的时间，写出火车行驶距离的公式。 §2·2代数式 用字母表示数之后，我们就会得到包含字母的一些计算式子，象a+b,&×b,z××b,a,(a+b)×c,m×r,等.我们把这类式子叫做代数式.代数式的共同特点是，它们都包含表示数的数字或字母，同时还常常包含运算的符号，所以我们说： 用运算符号把表示数的数字或字母连结起来所得到的式子叫做代数式 用数字或者字母表示的一个单独的数，也可以看作是代数式. 例如：3，一5，x,1,0等也可以看作代数式 在算术里，乘号总是用“×”来表示的.在代数里，我们 、仍旧使用这个乘号“×”.但有时，如果两个有理数用括号括起来之后再相乘，或者一个数乘以一个用字母表示的数，或者两个用字母表示的数相乘，我们可以把乘号写做“。”，或者就把乘号省略掉 ·80· ==========第87页========== 例如： (-3)×(-)可以写做(-3)·(-5)或者(-3)(-6)；3Xa可以写做3a或者3a;aXb可以写做ab或若ab; 今后一般地我们总是把乘号省略掉的。 §2·3列代数式 在代数里，我们常常需要把用文字叙述的一句话或一些计算关系列成代数式，举例如下： 例1.用代数式表示： (1)一个数a的3倍： (2)一个数b的平方； (3)两个数a与b的；(4)一个数&的3倍加上5.[解1(1)3a;(2)b;(3)a+b:(4)3a+5,注意a的3倍，就是4×3，但是，习惯上总把数字因数写在前面，所以写做3a. 例2.用代数式表示： (1)两个数a与b的和的3倍； (2)…个数a的3倍与另个数b的5倍的和； (3)数a的平方与数b的平方的和； (4)两个数a与b的和的平方.[解](1)3(a+b)； (2)3a+5b: (3)a2+b; (4(a+b). 注意根据先乘除、后加减的运算顺序的规定，在代数式里，要表示先乘除后加减的运算就不必用括号；如果要表示先加减后乘除的运算，就需要用括号、同样的，先乘方后加就不需要括号，先加后乘方就需用括号。 81 ==========第88页========== 例3.用代数式表示：(①)一个数a的平方的3倍：(②)一个数a的3倍的平方； (3)一个数a的平方的相反的数； (4)一个数a的相反的数的平方. 解1(1)3a,(2)(3a)2,(3)-a2;(4)(-a)3注意根据先乘方后乘除的运算顺序的规定，在代数式里，表示先乘方后乘除，不必用括号；如果要表示先乘除后乘方，就要用括号， 例4.有一个数是，列出代数式表示比大1的数，比心小3的数 [解]比c大1的数就是x+1;比心小3的数就是心一3.例5.有一个数是，列出代数式表示比心的3倍还大5的数，比c的倒数小6的数. [解]比c的3倍还大5的数：3+5 比如的倒数小6的数：于-6， 例6.一个分数的分子是心，分母比分子的2倍大3，列出代数式表示这个分数；列出代数式表示这个分数的倒数， 解]这个分数是2z+8 这个分数的倒数是2+3 例7.汽车的速度平均每小时m公里，(1)3小时共行多少公里？(2)t小时共行多少公里？(3)要行100公里需要多少小时？(4)要行$公里需要多少小时？ 分析速度、时间与行程三个量之间的关系是： 速度×时间=行程，或时间一鬓 [獬](1)汽车3小时共行3m公里； ·82 ==========第89页========== (2)汽车t小时共行mt公里（或m公里）； (8)要行100公里需要100小时(④)要行s公里需要小时， 例8.有一块长方形土地，它的长是a米，宽是b米，(1)面积多少平方米？(2)如果要在这块地的四边挖掘一条沟，这条沟的内圈一共多少长？ 分析长方形的面积=长宽， 长方形的周长=（长+宽）X2。 [解】(1)这块土地的面积是ab平方米： (②)这条沟的内圈的总长是2(a+b)米。 习题23 1.写出下列代数式： (1)一个数a的10倍；[解法举例：10a.] (2)一个数a加上10； (3)一个数a的五分之一； (国-个数a加上号； (5)一个数a减去5； (6)从5减去一个数a; (7)一个数a除以5； (8)5除以一个数a; (9)一个数a的b倍； (10)一个数a除以另一个数b 2.如a,b表示数，写出下列代数式： (1)a与b的和；[解法举例：a+b.] (2)a与b的积； (3)a的4倍与b的8倍的和； (4)a与b的积再加上5； (5)a的3倍与b的五分之一的和； (6)a的子与6的5倍的和；()a的平方与b的平方的和； (8)a的平方与b的和； (9)a的3倍与b的平方的和； (10)a的平方与b的立方的和. ◆83● ==========第90页========== 3.写出下列代数式： (1)a与b的和的3倍；[解法举例：3(a+b).] (2)a与b的和的平方； (3)a加3所得的和的5倍； (4)a加3所得的和的平方；(5)a与b的和的立方； (6)a与b的积的平方； (T)&除以b后所得的商的立方； (8)a加b所得的和除以a与b的积； (9)a的3倍与b的2倍的和除以a的2倍与b的3倍的和；(10)a的平方与b的平方的和的平方. 4.写出下列代数式： (1)a与b的和的相反的数；[解法举例：-(a+b).] (2)a的相反的数与b的和； (3)a的相反的数与b的相反的数的代数和； (4)a的平方的相反数加上5；(5)a的相反数的平方减去5； (6)a的倒数； (T)a的倒数与b的倒数的和； (8)a的平方的倒数加上b的平方的倒数； (9)a的倒数与b的相反的数的和；(10)a与b的和的倒数. 5.写出下列代数式： (1)a的绝对值；[解法举例：a.] (2)a的相反的数的绝对值；(3)a的绝对值的相反的数； (4)a的倒数的绝对值； (5)a的绝对值的倒数； (G)a与b的和的绝对值；(T)α的绝对值与b的绝对值的和； (8)a减去b的3倍所得的差的绝对值； (9)a与b的积的绝对值； (10)a与b的积的相反的数的绝对值， 6.一个分数，分子是x,分母比分子的5倍小3，列出这个分数的代数式；列出另一个分子分母都比这个分数的分子分母小1的分数的代数式 7,一个分数的分子是，分母比分子的平方小6，列出这个分数的代数式；列出一个代数式表示这个分数的倒数 8.一个分数的分母是x,分子比分母的相反的数大6，列出一个代数式表示另一个分数，它的分子比这个分数的分子大3，它的分母等于 ·84· ==========第91页========== 这个分数的分母的平方， 9.如果一个人骑自行车每小时平均可行a公里，()2小时可行多少公里？(2)b小时可行多少公里？（3)要行50公里需要多少小时？ (4)要行d公里需要多少小时？ 10.如果一辆汽车平均每小时行a公里，自行车平均每小时行b公里，(1)汽车与自行车同时行3小时，路程相差多少？(2)乘自行车行2小时后再乘汽车行3小时，一共行了多少路程？(3)汽车和自行车各行d公里，汽车比自行车快多少时间？ ]1.一个正方形的一边长a厘米，(1)它的面积是多少平方厘米？ (2)它的周长是多少厘米？ 12.两个正方形的边长分别是a厘米与b厘米(a>b),(1)它们的面积一共多少？(2)它们的面积相差多少？(3)它们的周长一共多少？ (4)它们的周长相差多少？（要注明单位） §2·4代数式的值 代数式是表示数的计算式子，如果代数式里的字母用指定的数去代替，再依照代数式里所表示的运算进行计算，所得的结果就叫做代数式的值 例1.计算代数式-3a6的值： (1)当a=-3,b=5 (2)当a=0.1,b=8: )当4=是6- 3 [解] (1)-3a2b=-3(-3)2(5)=-3.(+9).5=-135 (2)-3ab=-3(0.1)2(8)=-3(0.01)(8)=-0.24; 8)-3a6=-3(号)广(-8营)=-8·品(-罗) =十9， ●85" ==========第92页========== 例2.计算代数式2ax-52+3c-8的值： (1)当c=1; (2)当=-13 ()当ー 国当=-云 【解】 (1)2x8-5x2+3-8=2(1)3-5(1)2+3(1)-8 =2-5+3-8=-8； (2)2a3-5a2+3ac-8=2(-1)3-5(-1)+3(-1)-8 =2(-1)-6(+1)+3(-1)-8=-2-5-3-8=-18 ③)2a-5+-8-2)》-()》°+8()-8 23)-6()+8(2)-8 1-+3-8 44+2 =-1+12-8-72 (4)2x8-5ax2+3c-8 -2(-》°-(-°+8(-》)-82(풍)-6(+)+8(-)-8 ---용-----끄 注意把字母的指定数值代入代数式后，有些乘方或原来雀略乘号的地方，需要添上括号或者乘号。 例8.计算代数式3(3a-2b)2的值： (1)当a=-2,b=-3；(2)当a=-2,五=+8； (3)当a=0.4,b=0.3;(4)当a=-0.4,bm-0.3.◆86● ==========第93页========== L解1 (1)3(3a-2b)2=3[3(-2)-2(-3)1 =3(-6+6)=302=0； (2)3(3a-2b)2=3[3(-2)-2(+3)]2 =3(-6-6)3=3(-12)8 =3(+144)=432: (3)3(3a-2b)2=3[3(0.4)-2(0.3)] =3(1.2-0.6)3=3(0.6)3=3×0.36=1.08; (4)3(3a-26)2=3[3(-0.4)-2-0.3)] =3(-1.2+0.6)2=3(-0.6)2=3×0.36=1.08. 例4，计算代数式号治的值： 0当a=是6=-3(2)当a=-1经，6=1阅当-吉008 (4)当a=-1.3,b=-1.5. I解】 (1) +0.量+-》)任-)×6 2a+62()+()1-)×6 -부 3,10 (2) a+23一-1受+2) 2a+62-1》+(1)一3+5 二+别器- =-i8+10=-8 ●B7◆ ==========第94页========== -骨+20)-音+061 (3)a+2b 2a+b 2(-)+09号+0.8 1.3 二35--10+18+8=-8 23 -g+0-20+9-11=-1立 (4)a+2b-1.3+2(-1.5)-1.3-3 2a+62(-i1+-1可=-266 -4.3=48=12 -4.141-41 例5.计算代数式-a与(-a)2的值： (1)a=5, (2)a=-5,(3)a=0.13, (4)a=-0.13, (5)a=-1g 【解1 (1)-a2=-52=-25, (-a)3=(-5)2=+25; (2)-a2=-（-5)2=-25, (-a)8=[-(-5)]2=52=25; (3)-a2=-(0.13)3=-0.0169, (-a)2=(-0.13)8=+0.0169; (4)-a2=-(-0.13)2=-0.0169, (-a)2=[-(-0.13)]2=(0.13)2=0.0169 )~a-(-号)-ー(---23，(-0-[ー（ー）]ー()-2- 注意~a2要先平方再添上负号，（一%）2要先添上负号，再行平方. ●88· ==========第95页========== 习题24 1.求代数式a一b的值（填下表）： a +5 +5 -12 -12 2 号 +3.54 b +7 -7 -3 -20 + 2 一醛 -5.09 a-b 2.求空格内有关代数式的值，填入下表： 0 5 2 2 3 0.3 -0.2 1.2 -2.4 -3a 3a2 30 计算下列代数式的值(3~8)： 3.-号，2 (1)当a=-3,b=-2; (2)当a=0.3,b=-0.2; （8当a=-2b=-1号；(4当a=-0.12,b=+ 6 4.-x8+2x-3c+4, (1)当=2； (2)当x=一2； (3)当x=-0.3; 当x=-1品： (④) 3· 5.a2-b2, (1)当a=-3,b=-5: (2)当a=-5.3,b=4.7; (3)当a=0.32,b=-0.68;()当a-2号，b-4 ·89• ==========第96页========== 6.(a-b), (1)当a=-3,b=-5; (2)当a=-0.3,b=+0.5; 侧当a=-号，6-5} 当a=07,0m-景 (4) 7.(a+b) a2+b23 (1)当a=-2,b=-3; (2)当a=-13,621 (3)当a=0.3,b=-0.4 (4)当a=0.03,b=-30 8.1+a+a2 1-a+a23 (1)当a=-5; (2)当a=-0.2; )当a=+号： (4)当a=-33 9.求下表空格内有关代数式的值： -3 2 3 0 3 0.2 -0.3 刚 一6 -的 （-c)2 10.求下表空格内有关代数式的值： a 5 -5 导 0 -51 3 一心 al 1-al |-이 11.梯形的面积公式是8=《a十九，这里S表示梯形的面积，。 ●90· ==========第97页========== 和b表示梯形的两底，h表示梯形的高；底和高的单位如果是厘米，那末面积的单位是平方厘米。从下列各已知量，求梯形的面积 (1)a=15厘米，b=7厘米，h=3厘米； (2)a=2.4厘米，b=1.2厘米，h=0.9厘米. [解法举创：④8-a,h-15÷7)3-33(平方厘米).] 2 2 b (第11题) (第12题) 12.长方体的表面积公式是S=2(ab+aC+bc),这里S表示长方体的表面积，&，b,c分别表示它的长、宽和高.从下列各已知量，求长方体的表面积： (1)a=5厘米， b=7厘米， c=9厘米； (2)a=0.3厘米，b=0.2厘米，c=0.生厘米. 本章提要 1.用字母表示数来叙述数的运算性质 (1)a+b=b+a;(加法交换律) (2)(a+b)+c=a+(b+c);(加法结合律) (3)ab=ba;(乘法交换律) (4)（ab)c=a(bc);(乘法结合律) (5)a(b+c)=ab+ac;(乘法对于加法的分配律) (6)a-(b+c+)=a-b-c一d;(减法的运算性质)(T)a÷(bcd)=a÷b÷c÷d;(除法的运算性质1) ·91· ==========第98页========== (8)(a+b+c)÷d=a÷d+b÷d+c÷d.(除法的运算性质2) 2.本章的重要概念代数式；代数式的值. 复习题二 1.什么叫做代数式？写出三个代数式来 2.什么叫做代数式的值？代数式3a的值-一定是正数吗？举出一个反面的例子来 3.如果字母a表示一个正数，那么一a表示什么数？举例说明. 4.如果字母a表示一个负数，那么一a表示什么数？举例说明. 5.如果字母a表示数零，那么一a表示什么数？ 6.如果字母a表示一个有理数，列出代数式表示它的相反的数，表示它的绝对值，表示它的3倍，表示比它大3的数，表示它的平方，表示它的相反的数的平方；并求当&=一3时这些代数式的值 7.如果字母a表示一个不是零的数，列出代数式表示它的倒数，表示它的倒数的相反的数，表示它的平方的倒数；并求当a=0.3时这些代数式的值 8.如果字母a和b表示两个有理数，列出代数式表示它们的和，表示它们的平方的和，表示它们的和的平方，表示它们的相反的数的和，表示它们的倒数的和；并求当a=一5，b=一3时这些代数式的值 9.计算下列代数式的值： )-3-2y+y'.当~-；当·ー (2)x3-3x2+5x-7,当x=-2;当x=+0.3. 10.计算下列代数式的值： 1)(3a-28)2,当a-,bに-aーー，b- (2)(5-4)?,当=,yー当-。1，y-+0.2. 11.计算下列代数式的值： (四（合-小，当-3，y=+2当-2，y=-3 ②)青(a-y0州当z=-6,y=-乡当x=1号，=3分.3 ·92● ==========第99页========== 12.计算下列代数式的值： の当-，y=-7;当-，=- (2)용+b+”,当a=-3,b-23;当a,b=- a2+ab+b2 13.计算：(a+b)2-(a-b)2的值，当a=-三，6=-3 2· 1计算：3a+bP-6a6的值，当a=-1号，6-2跨，2 3+号・ 15.计算，1工的值，当=-多，y 16.计算：-3(c一2y)5-2(2x-y)5的值，当x=一2，y=一1.17,(1)计算：x+y+x-y|的值，当x=-3,y=-5; (2)计算：3x-2y一{2c-3y1的值，当x=-03,y=+0.2. 18.列出代数式，表示两个数：与y的和的平方减去这两个数的平方的和. 19,列出代数式，表示两个数x与y的积除以这两个数的和， 20.如果两个数的和是26，其中一个数用字母x来表示，列出代数式表示这两个数的积. 21.如果两个数的积是48，其中一个数用字母心来表示，列出代数式表示这两个数的和. 22.一个矩形的周长等于50厘米，用一个字母的代数式表示这个矩形的面积. 23.两个圆的半径的和是15厘米，用一个字母的代数式表示这两个圆的面积的和. 24.一个圆的半径是另一个圆的半径的3倍，用一个字母的代数式表示这两个圆的周长的和. 25.一个梯形的下底是上底的2倍，高比上底小3厘米，列出一个字母的代数式表示这个梯形的面积.*26.一4一定是负数吗？讨论它. [提示：分a>0,a=0,a<0三种情况.]*27.a+b的值一定大于a吗？讨论它.[提示：分b>0,b=0,b<0三种惰况.] ●93● ==========第100页========== *8.a-b的值一定小于a吗？什么时候a一ba? *29.3a一定大于a吗？什么时候3a>a?什么时候3a=a?什么时候3a明 *31.知a=a,a是怎样的数？*32.如a=-a,a是怎样的数？ *33,如a={b|,a一定等于b吗？如果a与b不相等时，它们是怎样关系的数？ *34,如a>b,a一定大于b吗？什么时候a>b?什么时候an), '.am÷a=am-(a≠0). (1) 现在，我们再来计算 a5÷a(a≠0)， 很明显，所得的商是1， 一般地说，.'am.1=am, .'、am÷a"=1(a≠0) (2) 从上面的(1)和(2)，我们得到同底数的冪的除法法则：()同底数的两个幂相除，如果被除式的指数大于除式的指数，那末底数不变，指数相减.即 cm÷a"=am-(m>n),m,n都是自然数，a≠0.()同底数的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那末商等于1.即 am÷am=1,m是任意自然数，a≠0. 附注同底数的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，这情况要在下面第五章里再讲. 例1.计算（这里所有字母都不等于0；m,%是自然数）： (1)4÷3； (2)x8÷2: (3)225÷x5; (4)心÷x5； (5)x8÷R; （6)am+÷a”影 (7)gm÷am; (8）a3m+3m÷am+n, [解] (1)c4÷x2=x4-3=Q2: (2)x8÷x2=c8-3=8; (3)25÷x5=c216-6=x10; (4)8÷05=8-5=x2=2; (5)x8÷x8=1; (6)am+n÷a那=an÷-m=a; (7)a2n÷a=a2m-m=am; (⑧)g3m+2n÷am+=G3m+8n)-(m+n)=a2m+” ·137· ==========第144页========== 注意同底数的幂相除时，指数相减，不是指数相除，.÷x=ー=エ2，不是で÷ー4÷2ー2；同样，8÷=ュ8ーマ=6，不是÷ーx8+2=x4;x15÷x5=x16-5不等于x15÷5.例2.计算： (1)(3)3÷x2; (2)(5)3÷(x2)3, (3)(c)3÷(3)5; (4)(ax4÷)3. 【解] (1)(3)2÷x2=5÷x2=8-3=x4;(2）(5)3÷(2)3=25÷x8=x15-6=3, (3)(x5)3÷(x3)5=c45÷x15=1; (4)(x4÷c)3=(x4-2)3=(a3)3=x3.例3.计算： (1)(3.)÷c2 (2）[(c3)3.]÷x10, (3)(x2.3)3÷(c2)4; (4)[(a)8.(c)]÷(a)3. I解] (1)(x3.)÷c2=x÷x2=x; (2)[(x3)2,x]÷x10=[8.c]÷x10=x1÷c20=花； (3)(c2.x3)3÷(c2)4=(c5)3÷x8-x26÷3=c7; (4)[(a2)3.(a3)4]÷(a)2=[as.a12]÷a10=as÷a0=a3. 习题38(1) 计算： 1.a8÷a3 2.b12÷b11 3.a20÷a5. 4.x100÷c20, 5.xm+1÷x”. 6.x2m+n÷xm, 7.(a8)2÷a. 8.(a3)5÷a5. 9.b16÷(b3)5. 10.(x)4÷(x2)5. 11.(a8.a)÷a2. 12.a6÷(a3.a5)。 •138· ==========第145页========== 13.a12÷a8÷a°， 14.(xm)2÷xm; 15.xm.x2n÷xn, 16.(cm,x2n)3÷n+n, 17.(a3.a5.a4÷a7)3 18.[(a3)2]3÷a5. 19.a24÷[(a2)3]4. 20.(.3.xm）2÷28。 2。单项式除以单项式我们来计算： 36a36c2÷12a3b3 这是一个单项式除以单项式的问题。我们仍旧可以利用除法是乘法的逆运算这一关系来推出计算的法则。 .12ab3×3bc2=36a8bc2, .·.36a65c2÷12a3b3=3b2c2, 很明显，3就是36÷12；b2就是b5÷b3;而a÷a3=1,在商里就没有字母α了；在被除式里有c2,而除式里没有字母c,所以商里还是c2. 一般地说，我们有单项式除以单项式的法则：单项式除以单项式，系数和相同字母的幂分别相除，只在被除式里有的字母的幂，保留在商里 附注在单项式与单项式相除时，如栗某些字母在被除式里的指数小于在除式里的指数，或者在除式里出现某些在被除式里所没有的字母，这些情况要在以后讲到分式时再讲。 例4.计算：（-136ab3c2d)÷(-4a3b2c2).[解](-16ab3c2d)÷(-4a3bc2)=+34a2bd. 说明（-136)÷(-4)=34，就是商的系数，a5÷a3=a2,b3÷b=b,c2÷c=1,d保留不动，所以商是34a2bd. 例5.计算：(-1号如y）(+3号y入 I解1(-1号eyz）(+3号ye）=-是. 例6.计算：（-324a,2m+63cn+8)÷（一12amb2mc2). ·139• ==========第146页========== 【解]（-324a2m÷63mcm+3)÷（一12amb2mc2) =27a(2m+n)-mb8m-2mc(m+3)-2-27am+nbmcm+1 注在计算熟练以后，中间步骤可以不写出来。 习题38(2) 计算： 1.6a2÷(-2a). 2.-12a2b3÷（-3ab3) 3.(24abc)÷(6a2bc). 4.（(140xy÷(侵）. 5.(层x）侵 6.(32a3b532y）÷(-8a2b2). 7.36a2b3÷12ab 8.36a2b8÷12a 9.0.4a3xy2oo÷0.2ax4y. 10,36a2m÷(-6am）. 11.(6a8)2÷(4a). 12.(3a2b3c)3÷(-a3b). 13.（-12a3b4)2÷(2ab)3。14.（3a2)3.(463)2÷(6ab)3, 15.(3am)2÷am. 16.(4am+1)8÷8a2m+1. 17.am+n.(3ambn)÷(-a2m).18.xm+3.(2x2)8÷4xm 19.(号0°÷（经b. 20.(0.4a3bm)÷(2a2bm)2。 3。多项式除以单项式让我们计算： (3a3-6a2-9a)÷3a. 这里被除式是一个多项式，除式是一个单项式。 根据除法运算性质 (a十b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷mA 我们有 (3a-6a2-9a)÷3a=3a8÷3a+(-6a2)÷3a+(-9a)÷3a =a2-2a-3, 一般地说，我们有多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，只要把被除式的各项分别除以除式，把所得的各商写成代数和。 ●140• ==========第147页========== 例7.计算：(1)(3a2-6a+18)÷(-3); (2)(24xy3-36x3y4)÷（-12y). 解J (1)(3a3-6a+18)÷(-3)=-a2+2a-6: (2)(24c423-36x3gy4）÷（-12cgy2)=-2xgy+3x2y2.例8.计算： (0.12au3b4c-0.4a263c+0.6a53d)÷(0.2ab3)[解](0.12a3b4c-0.4a2b3c+0.6ab3d)÷(0.2ab3) =0.6a2bc-2ac+3d. 注意0.4÷0.2=2，不是0.2. 例9.计算：(x3m+2#-x8%+n十3a2m)÷(-2m), 【解】(x3m+2m-x8m+n+32m）÷(一x2m) =一xm÷3n十心m+n一3. 注意3xm÷（-x2m)=一3，不是一3x. 习题38(3) 计算： 1.(12a4-16a3+24a2)÷（-4a2). 2.(36a4x-24a3x+48ax3)÷(-6a2x3, 3.(-815y5+27y4-9xy3)÷(+9x3y3). 4.(3a2b-6a3c+12ad)÷（-3a). 5.(0.6a3b2c-0.8a2b8c2+0.4ab2c3)÷(-0.02abc). 6.(--a)(-~) 7.(a3m+b-3a2m+8+9a2m+2)÷(3a2m+1). 8.(a2m+2bn+3-3a2m+16n+1)÷(-amb). 4。多项式除以多项式多项式除以多项式，一般可用直式演算，方法同算术里的多位数除法很相象，举例说明如下： 例10.计算：(x+5xc+6)÷(心+3). ◆141◆ ==========第148页========== [解] 优+2 c+3∫x2+5+6 x2+30 2x+6 2x+6 '.(x2+5+6)÷(G+3)=x+2. 解法步骤说明(1)先把被除式x+5x+6及除式x+3写好. (2)将被除式x2+5x+6的第一项x除以除式x+3的第一项x,得÷x=x,这就是商的第一项，写在被除式第一项x的上面 (3)以商的第一项x与除式然+3相乘，得x(x+3)=2+3x,就是被除式应该拆出的一个部分，写在2+5x+6的下面. (4)从x2+5x+6减去x2+3x,得差2x+6,写在下面，就是被除式去掉x2+3x后的一部分. (5)再让2x+6的第一项2x除以除式的第一项x,得2x÷x=+2,这就是商的第二项，写在商的第一项x的后面，写成代数和形式， (6)以商的第二项+2与除式x+3相乘，得2x+6,写在刚才的差2x+6的下面. (⑦)相减得差零，就表示刚好能够除尽. (8).∴，(x2+5x+6)÷(x+3)=x+2. 例11.计算：(2x3-2+3-9)÷(2x-3).解] x2++3 2ac-32x3-3+3x-9 2x-3x2 2x3+3c 2x2-3防 6x-9 6c-9 .'。(2x3-22+3x-9)÷(2x-3)=x2++3, 4142 ==========第149页========== 例12.计算： (-24x2+7x5-21+58x)÷(-3+7) 注意在演算除法时，必须先将被除式和除式按照字母的降幂排列好，否则进行将遭遇困难 [解】按x的降幂将被除式整理为7x3-24x2+58x-21,除式整理为7一3，列式演算如下： x2-3x+7 7w-3)7x3-24x2+58x-21 7x3-3x2 一21x2+58 -21x2+9x 49x-21 49x-21 .·.(7x3-24x2+58x-21)÷(7c-3)=w2-3a+7,例13.计算：(x3-8-3)÷(3一). 解】被除式按x的降幂排列时，缺心2这一项，要空出适当地位，除式按心的降幂排列，应为一心+3；演算如下： -x2-3x-1 -c十3)x3 -8c-3 +x3-3x2 +3x2-8心 +3c2-9w 花-3 _化3 .∴.(3-8-3)÷(-G+3)=-x2-3x-1.例14.计算： (1-5x+5x2-4w3)÷(x2-x+1). 。143◆ ==========第150页========== 【解1 -4x+1 2-+1)ー43+5x2-5c+1 -4x3+4x2-4x c2-x+1 x2-x+1 .（-4x3+5x2-5x+1)÷(x2-G+1)=-4x+1. 习题3·8(4) 计算： 1.(2x2-3x+1)÷(x-1). 2.(6x3+14x2-4x+24)÷(2x+6).3,(3x2+x+9x3-1)÷(3x-1). 4.(2x3-52+18)÷(2x+3). 5.(x4+2x2-x+2)÷(1-x+x2). 6.(x4+11x2+6-5x3-12x)÷(3+x-3x. 7.(18a4+82a2+40-67a-45a3)÷(3a2+5-4z). 8.(12+82x2+106x4-70x5-112x3-38x)÷（3-5x+7x2).例15.计算：(6x8-x2y-140y2+3gy)÷(2c-3y).[解]这里有两个字母心与y,按x的降幂排列，而后演算，如下： 3x2+4y-2y2 2x-3y)608-ay-14ay2+8y3 6263-9x2y 8a2q-14ay2 8a2y-12ay2 一2acy2+32y3 2y2+323 .。(63-x2y-14ry2+3y3)÷(2x-3y)=3x2+4cy-y2. ●1440 ==========第151页========== 例16.计算：(4ax8-4a24+8-a)÷(x2-a).[解】 x4-3a2x2+a* x2-a2jx8-4a2a4+4a4x2-a8 a8-a2cs -3a24+4a42 -3a2x4+3a4x2 a$x3-a6 ax2-ae .·、(8-4a2ax4+4ax2-a）÷(2-a2)=x4-3a23+a4.说明被除式里x的幂只有偶数次的，因为除式里x的幂也只有偶数次的，所以缺项就不必留出空位 例17.计算：(a-b)÷(a-b).[解] aが+a4b+a3b+a8+ab+b5a-bJas -be a8-a5b aib a36-a4b2 ab2 ab2-asbs a363 a363-a263 a≥b4 a2b4-abi ab5-bi ab5-b8 ∴。(a-)÷(a-b)=a+aる+a32+a+ab+b5. ·1454 ==========第152页========== 例18.计算：(a2-b-2bc-c2)÷(a-b-c). 【解】按a的降幂排列，a的幂相同时按b的降幂排列. a+6+c a-b-cJa2 -b2-2bc-c2 a2-ab-ac ab+ac-62-26c-c2 ab -62-6c ac-6c-c2 ac-bc-c2 。(a2-b2-2bc-c2)÷(a-b-c）=a+b+c. 习题38(5) 计算： 1.(a2-4ab+3b)÷(a-3b). 2.(4x2-5y+y2)÷(4x-y). 3.(a2-b2)÷(a+b). 4.(a8+b8)÷(a+b). 5.(8x3-27y)÷(2c-3y). 6.(a4+2a262+9b4)÷(a2-2ab+3b2), 7.(a5+3265)÷(a+2b). 8.(4a2b2-3ab+3ab9+a4-5b4)÷(b2-a2). 9.(2ab+b2+a2+2ac+2bc+c2)÷(b+a+c). 10.(a2-2ab+b2-c2)÷(a-b+c). §3·9有余式的除法 上面我们所遇到的整式除法，都是恰巧能够除尽，求到整式的商，它们可以用下面的关系式来验算： ◆146 ==========第153页========== 被除式=除式×商. 但这种情形是比较特殊的，正象算术里整数的除法常常不能整除一样，整式的除法有时也不能恰巧得到整式的商。例如，我们来计算 (x2-2x+3)÷(c+1), 列出算式如下： x-3 c+1x2-2x+3 x2十 -3c+3 -3x-3 6 这里最后一步相减后得到一个不是零的常数6，并且它的次数已经低于除式的次数，除法不能再做下去了， 象算术里不能整除的除法一样，我们把：一3叫做不完全的商，简单地就把它叫做商，把6叫做余式. 在算术的有余数除法里，被除数，除数，商和余数之间有下面的关系： 被除数=除数X商+余数 同样地，在代数的有余式的除法里，被除式，除式，商和余式之间有下面的关系： 被除式=除式×商+余式 我们可以利用这个关系式来进行除法的验算.例如 (x+1)(c-3)+6=x2-2c-3+6 =x-2十3， 例计算： (x4+3x3-2ax2+5c+1)÷(x2-t+2). ●147● ==========第154页========== [解] 花3+40 心2-c+2x4+3x3-2x2+5x+1 c1-3+2x2 4x3-4ac2+5w 4x3-4a2+8w -3a+1 因为-3x+1是的一次式，它的次数已此除式2-+2这个二次式的次数低，除法不能再做下去了。所以得商2+4c,余式-3ax+1 习题3·9 演算下列除法，说明商和余式，并进行验算： 1.(x2-3x+5)÷(x-1) 2.(32+4x-8)÷(x+2) 3.(x8+3x2-5x+1)÷(x-2), 4.(2x3-3x2-5x+12)÷(x+2). 5.(2ax3-3x2+6x+8)÷(x2+3x+1). 6.(x4-3x3+6x2-8x+10)÷(x2-2x-1), §3·10乘法公式 我们现在要来研究，怎样利用一些公式使某些多项式的乘法做起来比较简便.这些公式叫做乘法公式 1。两数和与差的积先来计算下列一些乘法： (1)(+y)(x-y); (2)(m+n)(m-n); (3)(a+b)(a-b); (4)(3x+6)(3-5). 这里都是二项式与二项式的乘法，直接做乘法，可以得到。 (1)(c+)(x-2y）=x2+y-xy-y2=x2-y 2148.P ==========第155页========== (2）（m+2)(m-m)=m2+mm-mm一n2=m2-n2, (3)(a+b)(a-b)=a+ab-ab-b2=a2-b2 (4)(3x+5)(3x-5)=(3c)2+5(3x)-5(3x)-52 =(3)2-53=9x2-26. 仔细地比较一下上面这四个乘法里的两个因式，可以看到它们有一个共同的特点，就是每一个题目中的第一个因式是两个代数式的和，而第二个因式恰巧就是这两个代数式的差.例如在(1)里，第一个因式是x与y的和，而第二个因式恰巧就是x与y的差；在(4)里，第-个因式是3x与5的和，而第二个因式恰巧是3g与5的差. 再观察这四个乘法里计算所得的结果，可以看出它们也有共同的特点，就是所求得的积，恰巧就是因式里两个代数式的平方的差.例如，在(1)里，积-y2恰巧是：的平方与y的平方的差；在(4)里，积9x2一25恰巧是3c的平方与5的平方的差. 我们把这种特殊形式的乘法，叫做求两数的和与差的积.从上面的例子，我们可以得出下面的结论：两数的和与这两数的差的积等于这两个数的平方差. 把这个结论用字母来表示，就得到下面的两数和与差的积的公式： (a+b)(a-b)=a-b2.(乘法公式1) 注意这里a与b可以表示任意的代数式，但公式里所有的a都要表示同样的代数式，所有的b也都要表示另一个同样的代数式 例1.利用乘法公式1计算： (1)(x+a)(-a); (2)(2c+3a)(2ac-3a); (3）(a2+a3)(2-a3); (4)(2ar3+3a2)(2ax3-3a2). [解】(1)公式1里的4，在这里是x,公式1里的b, ·149· ==========第156页========== 在这里是a,只要把公式里所有的a都写做x,所有的b都写做a就可以了， .(c+a)(-a)=x2-a2 (2)公式1里的4，在这里是2x,公式1里的b,在这里是3a,公式里的a2写做(2ac)2,公式里的b2,写做(3a)2,再化简， .∴.(2c+3a)(2c-3a)=(2c)3-(3a)8=4x2-9a2 (3)公式1里的a,在这里是x,公式1里的b,在这里是a8 ..(g2+a3)(x2-a3）=(x2)2-(a)2=x4-a (4)公式1里的4，在这里是2x3,公式1里的b,在这里是3a2, (2x8+3a2）(2x3-3a2)=(2a3)2-(3a2)3=4x8-9a4.例2.利用乘法公式计算： (1)(2a-3b)(2a+3b); (2)(3ab-5ax2y3)(3a0+ix2y3). 分析这里第一个因式是两数的差，第二个因式就是同样的两个数的和.根据乘法交换律，这两个因式前后次序可以对调，因此仍旧可以应用两数和与差的积的公式. [解1 (1)(2a-3b)(2a+3b)=(2a)-(3b)2=4a2-9b2, (2)(3ab-5ay3)(3ab+6a2y)=(3ab)2-(x2gy)2 =9a2l2-25x4gy°. 例3.利用乘法公式计算： (1)(3a+2b)(2b-3a); (2）(6a3aw2-4by)(4by+5a3x2). 分析这里3a+2b=2b+3a;4b2y3+5a3x=5a3x+4hy8、根据加法交换律交换位置之后，就和公式里两数和与差的形式一致了。 ●150 ==========第157页========== 【解1 (1)(3a+2b)(2b-3a)=(2b+3a)(2b-3a) =(2b)8-(3a)2=4b2-9a: (2）(6aax2-46y)(4by3+5a32) =(5a3x2-4by3)(5m3x2+4by3) =(6a32)2-(46y3)3=26ax4-16b2gy8. 注不要把2b一3a变成3a-2b,因为2b-3a+3a-2b, 习题310(1) 应用乘法公式计算(1~20)： 1.(x+3)(x-3). 2.(a+6)(a-6). 3.(5+a)(5-a). 4.(2x+y)(2x一y). 5.(a+2b)(a-2b) 6.(3a+5b)(3a-5b). 7.(12-7y)(12x+7y). 8.(x-19y)(x+19y). 9.(x2+a)(c2-a). 10.(a-b3)(a+b3). 11.(a2-b5)(a2+65). 12.(x30+y20)(30-y20). 13.(3a3-2b2)(3a3+2b2). 14.(5a5-44)(5a5+44), 15.(12a6+11b4)(12a6-11b4). 16.(9x3+8y2)(9x8-82). 17.(3a2b3+5ry)(3a2b3-5.xy4). 18.(2a5x2-364y3)2ax2+364y3). 19.(11ax7-31by)(31b5y+11ax). 20.(3ab2c-5)(5+3ab2c). [解法举例：(+3)(x-3)=(x)2-(3)=x-9.]应用乘法公式直接写出乘积，并验算(21~30)： 21.(m+3n)(m-3m). 22.(3a+5b)(3a-5b)、 23.(a2+b2)(a2-b2). 24.(a5-3)(a5+x3)。 25.(5a3-262)(5a3+2b2). 26.(a5-2b4)(a6+2b4). 27.(3a2-5x2y3)(3a2+52y8) 28.(3a2b8+4x3y)(3ub3-4x3y), ◆151◆ ==========第158页========== 2.(글)(+글)。 30.(0.3a-b)(0.3a+b). [解法举例：(m+3m)(m-3n)=2-9n2.门 附注有关乘法公式的习题，可用直接乘法自己核对结果。 例4.利用乘法公式计算： (1)(-a+b)(-a-b); (2)(-a3-66)(6a3-6b2). [解](1)这里第-个因式-a+b是-a与b两个数的和，第二个因式一a-b是同样的两个数一a与b的差，所以还可以应用(a+b)(a-b)=a2-b2这个公式，公式里的a在这里是一4，公式里的b在这里还是b. .∴.(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b3 (2)这里-5a3-662=-6b2-5a3,5a-662--662+5a3,把一品2当做公式里的a,把5a3当做公式里的b,还是两数和与差的积。 .∴.(-5a3-6b2)(6a3-6b2) =[(-6b2)-5a][(-6b)+5a]=(-6b2)3-(5a3)2=36b4-25a. 例5.利用乘法公式计算： (1)(a+b)(a-b)(a2÷b2); (2)(c-3)(c+3)(x2+9). 【解] (1)(a+b)(a-b)(g2+b2)=(a2-b2)(a2+飞2) =(a2)2-(b2)2=a4-b4; (2)(c-3)(+3)(2+9)=(x2-32)(x2+9) =(c2-9)(c2+9)=(c2)3-92=c4-81. 0152◆ ==========第159页========== 例6.利用乘法公式计算： (1)99×101; (2)302×298 【解】因为99=100-1,101=100+1；302=300+2，298=300一2.所以可应用公式计算，比较方便、 (1)99×101=(100-1)(100+1) =1002-12=10000-1=9999: (2)302×298=(300+2)(300-2) =(300)3-22=90000-4=89996 习题310(2) 应用乘法公式计算(110)： 1.(42-b3)(b3+4a2). 2.(5x2+3a2b)(3a2b-5x2). 3.(-3a+2b)(-3a-2b).4.(-3a-5b2)(-3a+5b). 5.(-2a3+362)(-2a8-3b2).6.(-5x8-6y2)(-5x3+6y2). 7.(x+y)(一x+y). 8.(12a+13b)(-12a+13b). 9.(-5x2-3y)(+5x2-3y3).10.(+7a3-3b2)(-7a-3b2).应用乘法公式计算(11~16)： 11.103×97, 12.201×199. 13.75×85, 14.34×26 15.1005×995 16.1.02×0.98. 用乘法公式求积(17~22)： 17.(エ+y)(x-y)(x2+g2)18.(a+1)(a-1)(a2+1), 19.(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4+b4). 20.(3a+2b)(3a-2b)(9a2+4b2). 21.(a4+b2)(a2+b)(a2-b) 22.(ょ8+8)(4+y4)(2+y2)(x+y)(x-y). 下列乘法，如果能应用乘法公式，就用公式求积，如果不能应用公式，用多项式乘法求积(23~30)： 23.(a+2b)(a-b). 24.(3a2+4b)(32-b). 25.(2a+3b)(3a-2b). 26.(a2+b2)(a2-2b2), ·153· ==========第160页========== 27.(a+b)(a-c). 28.(-3a2-b2(3a2-b2). 29.(x+3)(x-3)(x2+6). 30.(-a+b)(-a-b)(b2+a2). 2。二项式的乎方让我们计算： (1)(a+b)2 (2)(a-b)3. 这里a十b与a一b都是二项式.要求二项式的平方，可以根据乘法演算，得到 (a+8)2=(a+B)(a+6)=a2+ab-ab+82 =a2+2ab+b2, (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-b-ab+b3 =a2-2ab+b2 这里a和b都可以表示任意的数或任意的代数式.计算的结果也总与把乘积里的a和b用这些数或代数式代入后一样，所以这些结果可以作为公式来应用.这就是说： 两数和的平方等于这两个数的平方的和加上这两个数的积的两倍； 两数差的平方等于这两个数的平方的和减去这两个数的积的两倍. 用字母来表示上面的结论，就得到下面的二项式的平方公式： (a+b)=2+2ab+b2(乘法公式2)，(a-b)2=a2-2ab+b2 (乘法公式3). 例7.计算： (1)(m-+2)3, (2)(3m-5)3. [解](1)是两数和，应用公式2，以m代公式里的a,以2m代公式里的b,得到 (m+2n)2=m2+2(m)(2m)+(2m)2 =m2+4mm+4n2, ·154 ==========第161页========== (2)是两数差，应用公式3，以3m代公式里的a,以5m代公式里的b,得到 (3m-5m)2=(3m)2-2(3m)(6)+(6m)3 =9m2-30mm+2ǒm. 例8.计算： (1)(m2+0.3m3), 2(受m2-景八. [解](1)是两数和，应用公式2，以m2代公式里的a,以0.3m3代公式里的b,得到 (m2+0.3m3)=(m2)+2(m2)(0.3m3)+(0.3m3)2 =m4+0.6m2m3+0.09m: (②)是两数差，应用公式8，以》m代公式里的。，以号代公式里的6，得到 (m-)-(m")-(m)()-() 心9m4-2mn3+4 例9.计算：(1)（-3a3+5b2)2;(2)(-2x4-5y)2.[解](1)可以当做两数和，应用公式2，以一3a3代公式2里的a,以5b代公式2里的b,得 (-3a+562)=(-3a3)2+2(-3a3)(562)+(5b2)3 =9a8-30a362+25b4 也可以把-3a3+5b2变做5b3-3a3当做两数差，再利用公式3来做： (-3a8+6b2)3=(5b3-3a3)3 =(5b)2-2(5b)(3a3)+(3a3)2=25b4-30ab2+9a。 .·155.◆ ==========第162页========== (2)可以当做一2c与55的差，应用公式3来做：(-2ac4-52r5》2=(-2x4)3-2(-2x4)(6y5)+(yr)3 =4x8+20x4y5+25则0. 也可以当做一2x4与一5°的和，应用公式2来做：(-2ax4-5y)2=(-2x4)2+2(-2x4)(-5r）+(-5y)3 =4x8+20x4y5+26y10. 注从这个例子可以看到，有时解一个问题可以应用不同的方法，但是算出来的结果应该是一样的. 习题310(3) 用公式计算(1~20) 1.(3a3-2b2)2. 2.(2a+3b)2, 3.(5x-4y)2. 4.(7m-6m)2。 只. 5. 6.(a2+b2)2. 7.(a3-)2. 8.(3+x2)2. 9.(a3-a)2. 10.(3x3-5a2)3. 11.(11a+7b)2. 12.(の+号)。 13.(0.3a2-0.2a)2. 14.(5a3x-4b2y)3 15.(-7a2x-8bx2)2. 16.(-8ab+. 17.(99)2[提示：99=100-1]. 18.(102)2 19.(1.99)2C提示：1.99=2-0.01]. 20.(91)2. [解法举例：(3a3-2b2)2=(3a3)2-2(3a3)(2b2)+(2b2)2 =9a5-12a362+4b.] 用公式计算，直接写出结果(21~30)： 21.(3x2-5y)2. 22.(3x+2y)2. 23.(5a-b)2。 24.(a2+3)、 ◆156• ==========第163页========== 25.(3a5-2b3)2. 26.(3a262+1)2, 27.(3axy一2b3)2. 28.(a2-10b3)2. 29.(-abc-3)2, 30.（-a3+2a2)2。 [解法举例：(3x2-5y)2=9x-30xy+25y.] 例10.利用乘法公式求(a+b+c) [解1】演算分二步，先把前面两项添上括号作为公式里的a,求出积，而后再应用一次公式. (a+b+c)=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2a0+26c+c2 [解2]把后面两项添上括号作为公式里的b,逐步求积. (a+b+c)3=[a+(b+c)]2=a2+2a(b+c)+(b+c) =a2+2ab+2ac+62+2bc+c2 例11.利用乘法公式求(a-2b+3c).[解1]前面两项添上括号. (a-2b+3c)3=[(a-2b)+3c]3=(a-2b)2+2(a-2b)3c+(3c)3=a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c 【解2]后面两项添上括号，把第二项的性质符号“一”保菌在括号外，括号内各项变换符号 (a-2b+3c)2=[a-(2b-3c)]2=a2-2a(2b-3c)+'(2b-3c)2=a3-4ab+6ac+4b2-12bc+9c2 例12.利用乘法公式求：(2a+3b-4c)(2a+3b+4c).分析这里是三项式乘以三项式，其中有两项完全相同，而另外一项差一性质符号，对前二项添加括号，先应用两数和与差的积的公式，再应用两项式平方公式。 ●157· ==========第164页========== 【解】(2a+3i-4c)(2a+3i+4c) =[(2a+3b)-4c][(2a+3b)+4c] =(2a+3b)3-(4c)3=4a2+12ab+9b2-16c2 例13.利用乘法公式求(3a-4b+5c)(3a+4b-5c).分析这里也是三项式乘以三项式，其中有一项完全相同，而另外两项都恰巧相差一性质符号，在这两项外面添上括号，这样可以先应用两数和与差的积的公式，再应用二项式的平方公式， [解】(3a-4b+5c)(3a+4b-5c) =[3a-(4b-5c)][3a+(4b-5c)] =(3a)2-(4b-5c)2=9a2-(16b2-40bc+25c2)=9a2-16b2+40bc-25c2 注意下面的做法是错误的： (3a-4b+5c)(3a+4b-5c)=[(3a-4b)+5c][(3a+4b)-5c]=(3a-4b)(3a+4b)-(5c)2=9a2-16b2-252 因为这里(3a-4b)与(3a+46)不相同，公式里的a应该是相同的.例14.利用乘法公式求(3a+4b-5c)(3a-4b-5c),分析这里两个因式的第一项与第三项都相同，第二项相差一个性质符号，所以根据加法交换律把各因式中的第二项与第三项交换位置，然后各添一个括号，再应用乘法公式 [解](3a+4b-5c)(3a-4b-5c) =[(3a-6c)+4b][(3a-5c)-4b] =(3a-5c)2-(4b)3=9a2-30ac+25c2-16b2 注意下列添括号的做法都是错误的： (1)(3a+4b-5c)(3a-46-5c)=[3a+(4b-5e)][3a-(4b-5c门.这个做法的错误是在后面因式添括号时外面保留负号而没有把括号内 一5c调换性质符号. (2).(3a+4b-5c)(3a-4b-5c)=[3a+(4b-5c][3a-(46+5c)].这个做法在添括号时注意了变换性质符号，但这样括法并没有作用，因 ·158· ==========第165页========== 为两个因式中后面的一项不相同，一个是46一5c,另一个是46+50，所以不能应用两数和与差的积的公式. (3)(3a+46-5c)(3a=46-5c)=[(3a+4b)-5c][(3a-4)-5c].这样做法虽然也和原式相等，但同上面一样，由于前面这一项不相同，不能应用乘法公式. .习.题3·10(4) 适当添加括号，应用乘法公式求下列的积(1~12)： 1.(a-b-c)2 2.(2a+3b+c), 3.(3a-2b+4c) 4.(5a+b-2c)2. 5.(2a+3b-4c)(2a+3b+4c).6.(5a-3b+4c)(5a-3b-4c). 7.(a-2b+3c)(a+2b-3c).8.(7a+3b-5c)(7a-3b-5c). 9.(2a-5b+3c)(2a÷5b+3c). 10.(a2-b2+c2)(a2+b2-c2). 11.(3a2-5b2+2c2)(3a2-5b2-2c2). 12.(3x2-5x+2)(3x2+5x+2).应用乘法公式化简(13~20)： 13.(a+b)2-(a-b)2. 14.(3ax-2y)2-(3x+2y)3. 15.(a+b)(a-b)-(b+a)(b-a). 16.(3u+2b)3a-2b)+(3a-2b)2. 17.(a+b+c)2-(a-b-c)2. 18.(2a+b-3c)2-(2a-b+3c)2 19.(a+2b+3c)(a+2b-3c)-(a-2b+3c)(a+2b-3c). 20.(3x-2y+5a)(52+2y-3x)+(3x+2y+5z)(3a+2y-52).[解法举例：(a+b)2-(a-b)2=2+2ab+b-(a2一2ab+b2) =a2+2ab+b2-a+2ab-b2=4ab.] 3.两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差(或和)我们来计算： (a+b)(a-a6+62)(a-6)(a2+ab+82),用乘法计算，得到： ◆159· ==========第166页========== (a+8)(a2-a6+82)-a8-a28+a82+a2b-a82+83 =g3+b3, (a-8)(a2+a6+83)=a3+a26+a82-a26-a82-88 =a3-b3 这就是说： 两数和乘以它们的平方和与它们的积的差等于它们的立方和； 两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于它们的立方差. 用字母来表达，就得到两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和）的公式： (a+b)(a2-ab+)=a3+b3(乘法公式4)，(a-b)(a8+ab+b)=a3-b3(乘法公式5).例15.用公式计算： (1)(2a+3b)(4a2-6ab+eb); (2)(3x2-5y2)(9x4+152gy2+25gy).· 分析(1)在第一个因式里，我们有两数2a与3b的和，在第二个因式里，4a2=(2a)2,9b2=(36),而-6ab=一(2a)(3b),刚刚是这两数的平方和与它们的积的差，可用乘法公式4， [解](1)(2a+3b)(4a2-6ab+9b2) =(2a+3b)[(2a)3-(2a)(3b)+(3b)个=(2a)3+(3b)8=8a3+27b3 分析(2)9x=(3x2),25y=(5y2)2,15xy2=(3x2)(5y2)；第一个因式是两数差，第二个因式刚刚是它们的平方和与它们的积的和，可用乘法公式5. (2)(3ax2-5y2)(9x4+15x2y2+25gy4) =(3ax2-6y)[(3x2)+(3x2)(6yr)+(6y)习=(32)3-(6y2)3=27x0-125y. ·160· ==========第167页========== 例16.用公式计算： (1)(3a3-4bc2)(9a6+12a6c2+16bc)g 2)(4y+司)16ary5-2y+1) 【解] (1)(3a3-4bc2)(9a8+12a36c2+16b2c4) =(3a3-4bc2)[(3a3)3+(3a3)(46c2)+(4bc2)2]=(3a3)3-(4bc2)3=27a9-64b3c; 2)（4y+)16g-2my+） -(4wr+）)儿(4y-(4y是+（侵]=(y8+(侵》°一6My°+音 习题310(5) 用乘法公式计算： 1.(3a+b)(9a2-3ab+b2). 2.(a-2x)(a+2ax+4x2). 3.(2a-3b)(4a2+6ab+9b2). 4.(a2+b)(a4-a26+b2). 5.(2a2+3b3)(4a4-6a263÷966), 6.(3x4-52y3)(9x3+15xy3+25y). 7.(-2)(x1+x+24). 8.(3xy+2cy2)(9xy2-6xy+4x2y4). 9.(x4-x2+1)(2+1). 10.(+a262+b)(a2-b2).例17.用公式计算： (1)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b) (2)(+2y)(x-2y)(+42y+16y). ◆181· ==========第168页========== 【解1 (1)(g+)(a2-ab+b)(a-b)(a2+ab+b) =(a3+b3)(a3-b3) =(a3)2-(63)2=a8-b8, (2)(c+2则）(m-2则)(x+42y2+162) =(x2-42)(4+4ax2y2+16y)=(2-4g2)[(x2)2+x2(4g)+(4y)2]=(x2)3(4y2)3=c8-64y 说明(1)先用乘法公式4与5得两个立方和与差的因式，再用乘法公式1. (2)先用乘法公式1把前面两个因式变成两数差，再用乘法公式5求得这两个式子的立方差. 习题310(6) 用乘法公式计算(1~6)： 1.(a+1)(a-1)(a4+a2+1). 2.(2a+b)(2a-b)(16a4+4ab2+b4). 3.(x-y)(r+y)(+2y2+y4). 4.(2a2-3b)(2a2+3b2)(16a8+36a464+81b8). 5.(a-1)(a2+a+1)(a+a3÷1). 6.(x+y)(x2-ry+y(x6-x+y).利用乘法公式化简(7~10)： 7.(エ-y)(2+ry+y)+(2x+y)(42-2sy+y2). 8.(x+y2)(4-Ey2+y4)-(x2-y2)(x4+x2y2+y4. 9.(x2-4y)(x+4xy2+16y4)-(x3-8y3)(x3+823). 10.(2+y2)(x4—y2+y4)(8+).4,二项式的立方我们来计算： (a+b)3和(a-b)3. 用乘法计算，得到 ◆162· ==========第169页========== (a+)3=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+6)(a+b) =a3+2ab+ab2+a26+2ab3+b3=a3+3a2b十3ab2+b3 (a-6)3=(a-b)2(a-b)=(a22ab+b)(a-b) =a3-2a26+ab2-a26+2ab3-b3=a3-3a2b+3ab2-b3 那就是： 两数和的立方等于第一数的立方，第一数的平方与第二数的积的3倍，第二数的平方与第一数的积的3倍，及第二数的立方这四项的和； 两数差的立方等于第一数的立方，减去第一数的平方与第二数的积的3倍，加上第二数的平方与第一数的积的3倍，再减去第二数的立方. 用字母来表示，可以得到下面的二项式的立方公式：(a+b)3=a3+3mb+3ab2+b3(乘法公式6)，(a-b)3=a3-3ab+8ab3-3(乘法公式7).例18.用公式计算： (1)(c+y)8: (2)(c-y)3. [解](1)(c十)3=3+3x2y+3x+y, (2）(c-y)3=c3-32y+3oy2-y3.例19.用公式计算： (1)(2x+3则)； (2)(a2-r3)3. [解] (1)(2c+3则)3=(2x)3+3(2c)23则)+3(2x(3y)2+(3y)3 =8x3+36x2y+54cy2+27y; (2)(2-y3)3=(c2)3-3(x2)2(y3)+3(c2)(3)2-(yr3)3 =5-3cgy+3o2gy°-y°. ·163· ==========第170页========== 例20.计算： (1)(33-2ax2)8; ②(+月. [解](1)(3ae3-2x2)3=(3ax)3-3(3x3)2(2x2) +3(3x3)(2x2)2-(22)3=27x3-54x3+36x7-8x3, ((4+·)-(a+8(4（号り） +3(经°+（侵 s6x8+24x+3am4+82 习题310(7) 用乘法公式计算： 1.(m+n)3 2.(m-2m)3. 3.(2x+y)8. 4.(3a-2b)°. 5.(2+2)3. 6.(x2-a2)9. 7.(3x2-2x)3 8.(5x3+2a)8 9.(侵-. 10.( 2· 例21.用公式计算： (a+i-c)3. 【解1(a+b-c)3=[(a+b)-c3 =(a+b)3-(a+b)2c+3(a+b)c2-c3=3+3a2b+3ab2+b3 -3(a2+2ab+b)c+3ac2+3bc2-c3=a3+3a26-3a2c+-3ab2-6abc+3ac2+b8-3b2c+3bc2-c3。 ◆164● ==========第171页========== 注意也可以先把后面两项括成一项，再用乘法公式计算。例22.用乘法公式求(103)3及983.[解1 (103)3=(100-+3)3=100+3.1002.3+3.100.32+33 =1,000,000+90,000+2,700+27=1,092,727;(98)3=(100-2)3=1003-3.1002.2+3.100.22-23 =1,000,000-60,000+1,200-8=941,192. 习题310(8) 利用乘法公式计算(1~6)： 1.(a+b+c)3. 2.(a-2b-c)3. 3.(102)3. 4.(99)3. 5.(1.01)8, 6.(0.97)3 化简(7~10)： 7.(a+b)3+(a-b)3. 8.(a+b)3-(a-b)3 9.(2a+36)3-(2a-3b)3.10.(2-2y2)8-(x2+22)3,5。x的两个一次二项式的积 (i)(+a)(c+b)的积：直接做乘法，得到(x+a)(a+b)=a2-+ax-bx+ab=x2+(a+8)x+a8这就是说，形如(c+a)(x+b)的积是x的二次三项式，其中，心的系数是1，x的系数是两个因式的常数项的代数和，而常数项是两个因式的常数项的积 (c+a)(c+b)=2+(a+b)+ab(乘法公式8).例23.计算： (1)(x+7)(+11); (2)(e+12)(x+8): (3)(x-8)(x-9); (4)(x-12)(c-16). [解](1)(+7)(+11)=x2+(7+11)心+7.11 =x2+18x+77; ·165◆ ==========第172页========== (2)(+12)(+8)=x2+(12+8)x+12.8 =a2+20x+96: (3)(-8)(-9)-x2+(-8-9)x+(-8)(-9) =x2-17c+72; (4)(-12)(c-16)=2+(—12-16)c+(-12)(-16) =x2-28x+192 从上面四个例子，我们可以看出： 当a,b都是正数或都是负数时，积的常数项是正的，x的系数的绝对值等于a与b的绝对值的和，符号与a,b的符号相同. 例24.计算： (1)(x+7)(x-5); (2)(+12)(x-18); (3)(x-12)(心+3)； (4)(x-8)(+10). 【解] (1)(c+7)(w-5)=x+(7-5)x+(7)(-5) =x2+2x一35； (2)(ax+12)(x-18)=x2+(12-18)w+(12)(-18) =x2-6x-216: (3)(c-12)(+3)=x2+(-12+3)x+(-12)(3) =2-9-36; (4)(-8)(+10)=2+(-8+10)w+(-8)(10) =2+2x-80. 从上面四个例子，我们可以看出： 当α，b两数的性质符号相反时，积的常数项是负的；的系数的绝对值等于a,b两数绝对值的差，符号与，b中绝对值较大一数的符号相同。 •166• ==========第173页========== 习题3.10(9) 计算： 1.(x+1)(⑦+2). 2.(x+3)(+4), 3.(+7)(x+12). 4.(x+20)(x+18). 5.(-2)(x-4)。 6.(x-7)(x-8). 7.(w-12)(x-.6). 8.(一18)(x-30). 9.(+5)(x-3). 10.(x+2)(x-6). 11.(x-24)(x+18). 12.(x-32)(x-7). 13.(a-51)(a+40). 14.(a+20)(a+50). 15、(a-7)(a-100). 16.(a-13)(a+32). 17.(x-20)(x+30). 18.(x-12)(x-50). .(e-(e+) 20.(e+(e+》 (ii)(ax+b)(cc+d)的积：直接做乘法，得到 (aa+b)(ca+d)=aca24-bca-ada+bd =aca2+(bc+ad)x+bd. 这就是说：形如(ac+b)(cx+d)的积是的二次三项式，其中，x的系数等于两个因式中x的系数的积，常数项等于两个因式中常数项的积，而如的系数是两个因式的心的系数与常数项交叉相乘的积的和， (ax+b)(cx+d)-acx2+(bc+-ad)x-bd (乘法公式9). 注在应用这个公式来计算时，为了便于求出积中x,x的系数及常数项，也可以先把因式里父项的系数和常数项排成下面的形式： a b d 把第一直行里两个数a和c相乘，就得积里x2的系数aC,把第二直行里两个数b和d相乘，就得积里的常数项bd,把两条对角线（斜线 ·1674 ==========第174页========== 表示的)两数a和d,b和c分别相乘，它们的代数和就是积里x的系数(ad+bc). 这种算法，可以叫做交叉乘法例25.计算： (1)(3x+2)(4x+5); (2)(3x-5)(2x-7); (3)(6c-2)(3ax+4); (4)(2+3)(3-7). 【解] 交叉相乘的算式 (1)(3x+2)(4c+5) 3 2 15+8=23; =12x2+23+10, 5 -5 (2)(3c-5)(2c-7) -21-10=-31; =6c2-31花十35， 2-7 6-2 (3)(6x-2)(3c+4) 八 24-6=18; =18x2+18x-8, 4 3 (4)(2c+3)(3x-7) 14+9=-5. =ec3-5x-21. 3 7 例26.计算： (1)(x-5a)(x+3a); (2)(x2+3)(x2-7); (3)(3x2-5a)(2x2-3a);(4)(2x2+3y2)(2-2y). 【解] (1)(x-5a)(c+3a)=x2-2ax-15a2, (2)(2+3)(x2-7)=x4-4c2-21; (3)(3x2-5a)(2ax2-3a）=6x4-19aax2+15a2 (4)(2x2+3y2)(x2-2y2)=2ax-c2y2-6y.例27.计算： (1)[(a+b)-3][(a+b)+]; ●168· ==========第175页========== (2)[2(c+y)-3][3(x+则)+4幻.[解1(1)[(a+b)-3][(a+b)+5的 =(a+b)2+2(a+b)-15=a3+2ab+b2+2a+2b-15; (2)[2(c+y)-3][3(c+y)+4幻 =6(c十y)2-(+y)-12=6(2+2cy+y2)-(+y)-12=6x2+12cg+6y2-x-y-12. 习题3·10(10) 计算(1~10)： 1.(x+3)(2c+1), 2.(3x+4)(5x+2). 3.(2x-3)(3x-2). 4.(5x-4)(4x-5). 5.(3x+7)(2ac-4). 6.(4-3)(3x+1). 7.(3x-2)(3x+5). 8.(5x-1)(5x-3). 9.(4x-1)(4x+3). 10.(3x-5)(5+6). 计算(11~20)： 11.(a+3b)(a+5b). 12.(a-3b)(a+7b). 13.(x+2a)(x+3a). 14.(x-3a)(x+8). 15.(a+10b)(a-7b). 16.(a+7b)(a-3b). 17.(2a+3元)(3a-4b). 18.(3x-2a)(5x-3a). 19.(2a-5b)(3a+4b). 20.(3a-5b)(4a-11b), 计算(21~34)： 21.(x2-3y)(x2-5y). 22.(2-7y2)(x2+4y). 23.(a2b2-5)(a2b2+7). 24.(a2bc+12)(a2bc+14). 25.(y+ab)(cy-2ab). 26.(x2+3x)(x2+x). 27.(a-2b)(2a-3b)。 28.(3a+b)(a+3b). 29.(x2-5)(2x2+4). 30.(ax-7b)(3ax2+5b). 31.(a+b+7)(a+b-4). 32.(x-y-3)(x-y-4). 33.(a+b-5)[3(a+b)+2].34.[2(a-b)+7][5(a-b)-4]. ·1e9· ==========第176页========== 本章提要 1.本章的重要概念 (1)有理代数式（有理式），有理整式（整式），有理分式（分式）；(②)单项式，系数，幂，指数，单项式的次数； (3)多项式，多项式的项，常数项，同类项，多项式的次数 2.整式的整理化简和运算的步骤和法则 排因数次序， (1)单项式的整理把相同字母的因数写做一个幂； (2)多项式的整理{排幂（依某一字母的降幂或升幂排列）， 合并同类项 3.去括号与添括号法则 a+(8-c)=a+6-c,a+6-c=a+(6-c);a-(b-c)=a-8+c,a-6+c=a-(6-c). 4.指数法则(m,n是自然数) (1)同底数的幂的乘法am.an=amtn; (2)同底数的幂的除法am÷an=am-n(当m>); am÷am=l; (3)幂的乘方 (am)n=amn; (4)积的乘方 (ab)m=ambm 5.整式的运算法则 (1)加法（见105,109页)； (2)减法（见107,109页)； (3)乘法（见122,124,125页)； (4)除法（见139,140,141页）片 (5)乘方（见132,134页）. 6.乘法公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2, (2)(a+b)2=a2+2ab+b2, (3)(a-b)2=a2-2ab+b2, 。170 ==========第177页========== (4)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b9, (5)(a-b)(a2+ab+b)=a8-b3, (6)(a+b)9=a3+3a2b+3ab2+b3, (7)(a-b)8=a3-3a26+3ab2-b3, (8)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab, (9)(ax+6)(cx+d)=acx2+(bc+ad)z+bd 复习题三 1,写出三个整式，写出三个分式，写出三个单项式 2.写出x的一个二次三项式，写出4的一个三次四项式. 3.说出下列各单项式的系数和次数： (四）-号（②） (3)-abc2;(4)5a2b4e. 4.,说出下列多项式的项数和次数，并且指出它的常数项： (1)3x-5x3+6; (2)3a-5a2+a3-2a4-8+2a 5.怎样的两个项叫做同类项？3a263和2a3b2是同类项吗？为什么？5x2y5和一y5x2是同类项吗？为什么？6,单项式的整理有什么要求？整理下列单项式： 1 (1)-3ababa; (2) 7.多项式的整理有什么要求？整理下列多项式： (1)3x2-5x-3x-3ax2+8x-7+x5; (2)3yア-xy3+ aył—lyー5-y; (3)3a26+3ab-5a2b-5ab2+7a8-6b3-5a3; (4)xy-3x2y-yx3+3y2c2.演算(8~12)： 8.(3a8+5a2b-5ab2+b3)+(5a3-7a26+3ab2-b3). 9.(3ax-2x2-5x+7）-(5x3-2x2-3x-4) +（-2x3-32-5x-7). •171· ==========第178页========== 10.(3a2b-5ab2)(-3ab)-(7a-3b)(-5a2b2). 11.(30a2b3c4-25a8b2c5+20a4b4c2)÷(-5a2b2c). 12.(3a2÷(侵aw×(-5ax)÷(15a2z')-u3÷a4. 用直式演算(13~16)： 13.(2x3-x2+5)(x-3+x2). 14.(2+2xy+y2)(x+2y). 15.(x6-9x4+12x2-4)÷(x8+3x2-2). 16.(a-b)÷(a-b). 化简(17~34)： 17.x(x2-3x+5)-x(x-3). 18.(-3x2)(x2-2x-3)-(3x)(x3-2x2-5). 19.(-3)(x+4)-(x+3)(-4). 20.(3x-5)(2c-3)-(2x+3)(3x-4). 21.(c-1)(x-2)-3x(c+3)+2[(x+2)(x+1)-3]. 22.-(a+b)+[-a-(2a-b)]-6(a-4b). 23.6x-{4x+[2c-(3x+5x+7-1)+3]-8}. 24.2a-{4a-c+[3a-(4b-c)-(b+3c)]-6c}. 25.2-[3m+(y+5z)]-[x-(3y+2z)]. 26.(a3.a5)2+(a8÷a2)3.27.（-3a2b8)8÷(3ab2)2. 28.a3.a5.a6.b3.b4.a2+a3.a5.b2.b4 29.x8y2xyx4y5-2x5y÷x22y3.30.(a6÷a2)2+(a9÷a3）a2, 31.am.an.a2m.a8 32.am+1÷am xan+7÷a。 33.(am)n÷am, 34.(am+1)n÷amn。 用直式演算(35~38)： 35.(am+2)×(am+3). 36.(a2m+3am+2)÷(am+1). 37.(a3m-3a2m+3am-1)÷(am-1), 38.(a2m+am+1)(a2m-am-1).利用乘法公式演算(39~46)： 39.(x+3)2+(g-3)2+(2x-3)2-(2x+3)2 40.(3x+2y)(3x-2y)-(3x+2y)2-(3x-2y)2. ●172● ==========第179页========== 41.(m-2b+3c)2-(a+2b-3c)2-(a+2b〦3c)(a-2b-3c). 42.(3x-2y)(9x2+6axy+4y2)-(3x-2y)8. 43.a(a+b)(a-b)-(a+b)3. 44.(x+3)(x+5)-(x-3)(x-5). 45.(2x-y)(2a-3y)-(3.x-y)(2x-5y）. 46.3(x+5)(x+3)-5(x-2)(x-3)+2(x+1)(x-2). 用乘法公式化简下列各代数式，然后求这个代数式的值(47~48)： 47. (a+3)-(a-30)1,已知~号，bにー 48.(3a-2b)(9a2+6ab+462)-(3a+2b)(9a2-6ab+4b2), E知=一是， 用简便的方法求出结果(49~50)： 49.(x+3)(x-3)2-(2+1)2(2x-1)2. [提示：(x+3)2(x-3)2=[(x+3)(x-3)].] 50.（x+2)3(x-2y)8-(2x+y)3(2x-…y)8。 01734 ==========第180页========== 第四章因式分解 在上一章里，我们学习了整式和整式的各种运算.进一步我们将学习分式和分式的运算.但在这之前，我们要先学习多项式的因式分解，这和算术里学习分数以前，先要学习整数的因数分解一样.这一章里我们就来讨论多项式的因式分解. §4·1因式分解的意义 在算术里我们知道，一个自然数如果除掉1和它本身以外，不能被其他自然数整除，那末这个数就叫做质数；如果还能够被其他自然数整除，那末这个数就叫做合数.自然数1既不是质数，也不是合数 对于一个合数，我们总可以把它分解成若干个质因数的连乘积. 例如：35=7×5,63=7×9=7×3×3=33×7，等等把一个自然数分解成几个因数的连乘积，叫做自然数的因数分解。在进行因数分解的时候，通常总要把它分解到不能分解为止. 例1.把224分解成质因数的连乘积.[解] 2224 2112 256 228 214 7 •174y ==========第181页========== .224=25×7. 例2.把4320分解成质因数的连乘积。[解] 24320 22160 21080 2540 2270 3135 345 3115 5 .‘.4320=25×33×5 注在把一个数分解成质因数的连乘积的时候，我们总把相司的质因数写成幂的形式，如22222写成25,333写成33等. 我们知道，几个整式相乘，每~个整式都叫做它们的积的因式.例如 (1)a(b+c)=ab+ac,整式a和整式b十c都是它们的积ab+ac的因式. (2)(a+b)(a一b)=a2-b,整式a+b和整式a-b都是它们的积a2-b2的因式. 很明显，我们也可以把上面的（①）写成 ab+ac=a(b--c). 这个式子把多项式ab十ac写成两个整式a和b十c的积的形式。 同样，我们可以把多项式a2-b2化成两个整式的积的形式，就是 a2-b2=(6+b)(a-五). 把个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 ·1750 ==========第182页========== 在进行多项式的因式分解时，象算术里分解因数一样，通常也要把这多项式分解到不能再分解为止. 注在代数里，一个单项式已经是数字因数和字母因数的乘积的形式了.例如3a2bc就是3×a×a×b×b×b×c,而3a26c的写法比3 aabbbc的写法简便，因此单项式不再需要分解因式了. 下面我们来研究多项式的因式分解的各种方法。 §4·2提取公因式的因式分解法 在上一节里，我们曾经看到，多项式ab+ac可以化成两个整式的积，就是 ab+ac=a(b+c) 这里a是多项式ab十ac的第一项ab的一个因式，也是它的第二项c的一个因式，我们把它叫做ab和ac的公因式 一般地，如果一个多项式的各项里有一个公因式，我们可以象上面这样根据乘法对于加法的分配律，把这个公因式提取出来，把这个多项式分解成两个整式的积.例如 ab+ac+ad=a(6+c+d) 这样的因式分解，叫做提取公因式法.例1.分解因式： (1)abc+36d-56; (2)abc-+abd-3ab [解](1)bc+3bd-5b是一个三项式，各项里都有因式b,把它提取出来，得 abc+3bd-56=b(ac+3d-5); (2)abc+abd-3ab是一个三项式，各项里都有因式&和b,把a和b都提出来，得 01760 ==========第183页========== abc+abd-3ab=ab(c+d-3) 例2.分解因式： (1)6a3x4-8a2x5+16ac8,(2)a8+a7-2a8-3a5[解门(1)在6a3x4-8a2x+16ax里，数字系数的最大公约数是2，三项里都有因式a和心，a的最低次数是1，的最低次数是4，所以2ax4是公因式.把2x4提出来，得 6am4-8a2x5+16aa5=2ac4(3a2-4ax+822); (2)这里各项都有a的幂，面各项中a的最低次数是5，a就是公因式，把它提出来，得 as+a7-2as-3a5=a5(a3+a2-2a-3).例3.分解因式： (1)3+x2+c; (2)-2x2y3-x2gy2-xy. L解】(1)e3+x2+龙=x(x2+心+1)： (2)-cy-x2y°-ye-y(c2y十y+1). 说阴(1)x是1·x,提出因式x后，另一个因式是1，不要漏掉. (2)三项都有“-”号，表示各项都有因数一1，应该把它提出来，把系数一1的1省略不写. 习题4·2(1) 分解因式(1~10)： 1.ab+ac, 2.ax-bx。 3.a2+a. 4.g3-02. 5.ab-ac-ad 6.ab2-3ab+5a3b. 7.8a3x2-6a5x2-12a4x4, 8.32a564-16a3b5+24a267, 9.3ax2-a2x+ax. 10.6a3-8a2-4a. [解法举例：ab+ac=a(b+c).] 从下面各代数式的各项中提出一个一1的公因数来(11~14)： 11.-a+c。 12.-a+b+c. ·177◆ ==========第184页========== 13.-8-2+x-1. 14.-a2-b2-c2-, [解法举例：-a+x=一(a-x).] 把下面各式的公因式连同一个负号提出来(15~18)： 15.-ab-ac-ad, 16.-a2-a8+a4, 17.-xy2+2x2y-y. 18.-a8+2a2b-ab2 [解法举例：-ab-ac-ad=-a(b+c十d).] 例4.分解因式： (1)x(a+b)+y(a+b);(2)(a+b)2+(a+b).解】(1)这里的公因式是（α+b),把它提出来，得 x(a+b)+y(a+)=(a+b)(c+y); (2)这里的公因式是(+)，把它提出来，得 (a+b)+(a+b)=(a+b)[(a+b)+1] =(a+b)(a+b+1). 说明[(a+b)+1]这个因式的小括号外面还有加减号，所以要把小括号去掉，得(a+b+1). 例5.分解因式： (1)2b(a-b)+3ab(a-b); (2)3(a+b)(a-b)(+y)-(a+b)(a-2b)(+y).[解1(1)把公因式ab(a一)提出来，得a2b(a-B)+3ab(a-b)=ab(a-b)(a+3); (2)把公因式(a+b)(c+y)提出来，得 3(a÷b)(a-b)(x+y）-(a+b)(a-2b)(x+y)=(a+b)(x+y)[3(a-b)-(a-2b)]=(a+b)(x+y)(3a-36-a+2b)=(a+b)(c+y)(2a-b). 说明[3(a一b)一(a一2b)]内有同类项，所以要把小括号去掉化简。一般，即使没有同类项，也要化简 ·178· ==========第185页========== 例6.分解因式： (1)(-)2+(b-a)(c+y); (2)(-2y）(2x+3y)-2(2y-x)(6x-y). [解1(1)·.·b-a=-(a-b),所以a-b是公因式，把它提出来，得 (a-b)+(b-a)(x+y) =(a-b)2-(a-b)(+y) =(a-b)[(a-b)-(x+y)] =(a-b)(a-b-x-y); (2).·2则一心=-(x一2y),所以可以提出公因式x一2则，得 (c-2y)(2+3y)-2(2g-x)(6x一y）=(-2y)(2x+3gy）+2(w-2y）(5x-y)=(c-2y)[(2+3y)+2(5x-y)]=(-2y)(2x+3则+10x-2则)=(c-2则)(12x+y). 习题4·2(2) 分解因式： 、 1.a(x+y)+b(x+)+c(x+y).2.a(x-)-b(x-)-c(x-y). 3.x(a+b+c)-2y(a+b+c).4.x(a+2b-3c)+(a+2b-3c). 5.3(x+1)9-5(x+1). 6.(x-3)8-(x-3)2. 7.a(&-b)+b(b-). 8.a2b(-y)-ab(y-x). 9.(3x+y)(3x-y)-(x+2y)(y-3x). 10.(x-a)3+a(a-x).11.2(x-2a)8-a(2a-x)3。 12.(-b)(x-y)(x-2y)-(b-a)(y-x)(a+b). 13.(a-3)(a3+2)+(a-3)(a2+1)-3(3-). 14.(a-3)(a3-2)-(3-a)(a-1)+2(3-a). 。179• ==========第186页========== 15.x(b+c-d)+y(d-b-c). 16.2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+)(2b-a-3c). 17.(x+2)(x-3)(2-7)+(2+x)(3-x)(x+3). 18.(x+1)(2x-3)+(ェ+1)(2x-3)2—(x+1)(3-2x) 19.5x-1)2(3c-2)+(2-3x). 20.(a-b)2(a+b)3-(b-a)2(b+a)2 §43分组提取公因式的因式分解法 我们来分解多项式： a十ay+bi+by 的因式. 这是一个四项式。在四项里没有公共的因式，所以我们不能直接应用提取公因式的因式分解法、 仔细考察这个多项式，可以看到它的前面两项都有一个因式a,把它提出以后得到 ax+ay=a(c+y). 同时，这个多项式的第三项和第四项也都有一个因式b,把它提出以后，得到 b心+by=b(x+y). 所以多项式aac+ay+bx+b则可以化成 ax+ag+bx+by=(a.c+a则〉+(bx+by) =u(x+y）+b(c+y). 因为x十y是a(+y)和b(x+y)的公因式，再把它提出就得 ax+ay+ba+by=(aa+ay)+(ba+by) =a(十y)+b(÷g） =(优十y)（a+b), ◆180● ==========第187页========== 这样，我们就把原来的多项式分解成两个整式的积. 象这样的分解方法，叫做分组提取公因式的分解法.例1.分解因式： ax+ba+ca+ay+by+cy. 【解1】把含有x的项与含有y的项分成两组，每组各 三项，得 ax+bx+cx+ay+by+cy=(ax+bx+c)+(ay+by+cy) =心(a+b+c)+y(a+b+c)=(a+b+c)(x+y); [解2】把含有a的、b的、c的各项分成三组，每组各两项，得 ax+b+cx+ay+b则+cy =(ax+ay)+(6x+by)+(ca+cy)=a(a+y)+6(x+y)+c(+y)=(x+y)(a+b+c). 例2.分解因式： ax+bx-则-by. [解1]ac+bx-a2y-by=(ac+bx)一(a则+by) =(w+b）-y(a+b)=(a+b)(x-y) [解21aac+bx-ay-by=(ax-ay)+(b-by） =a(a-y)+b(a-q)-(x-y)(a+b). 例3.分解因式： ax3-ax34aq-a, 【解]先提取公因式a,再分组分解.aa3-aa2+aa-a-a(a8-x2+c-1) =a[(x3-2)+(x-1)]=a[ax2(c-1)+(x-1)]=a[(c-1)(c2+1)]=a(x-1)(c2+1). ·181· ==========第188页========== 注意1.从a(x3-x2+x-1)变到a(x8-x2)+(龙-1)门时，不要漏掉中括号，如果写做a(x3一x2)+(一1)，那就错了. 2.a[(x-1)(x2+1)的中括号不需要了，因为三个因式，可以依次相乘，所以最后变成a(x-1)(x2+1), 附注象四项式a+ay+bx一by,分组后可得a(x+y)+b(x一y),或x(a+b)+y(a一b),但不再有公因式，最后的运算仍旧是加法，没有达到因式分解的要求.这个四项式是不能分解因式的. 习题4•3 分解因式： 1.ab+ac+2a+bx+cx+2x.2.ax-ay+a2+bx-by+ab 3.ax+ax2-6-ba. 4.ax-ay-bx+by. 5.ax2+by3+ay3+ba2 [提示：by2与ay调涣位置，或by与bx2调换位置.] 6.ab+a+b+1. 7.ab-a-b+1, 8.ab-a+b-1, 9.ab-1+a-b. 10.x2-3xy-3y2+xy. 11.2x2+4xy-6xa+3a-x-2y. 12.5+x4+x+1. 13.x5-x4+x-1. 14.a5-ax4+ax-a. 15.a5-ux4+x-1. 16.a2x5-a2x4-a2+a2x. §4·4公式分解法 1.平方差的因式分解公式在§41里我们曾经看到多项式α2-2可以分解成两个因式，就是 a2-b2=(a+b)(a-b). (1) 事实上，这里我们是反过来应用了两数和与差的积的公式. 我们可以把()作为一个公式，利用它来分解由一个数的 ·182· ==========第189页========== 平方减去另一个数的平方所构成的多项式的因式、·平方差的因式分解公式： a2-b2=(a+b)(a-b)(因式分解公式1).例1.分解因式： (1)a2-x2; (2)x2-y2. 分析可以直接应用公式，只要把公式里的a,b用有关字母代进去就可以了，公式里的a,在(1)内是a,在(2)内是；公式里的b,在(1)内是x,在(2)内是y. [解](1)a2-x2=(a+x)(a-x)； (2)2ーg2=(a+g)(-g).例2.分解因式： (1)4a2-9b2; (2)a4-4b4 分析4a2=(2a)2,962=(3b)2,以2a和3b替代公式里的a和b就可以了 [解】(1)4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b). (2)a4-464=(a2)2-(262)2=(a2+2b2)(a2-2b)例3、分解因式： (1)16a26-2562x4; (2)36ax10-9b2r. 【解](1)16a18-25b2x4=(4a)3-(5ba2)2 =(4a8+5bx2)(4a8-5bx2); (2)36a4x10-9bgy=(6a2x5)3-(3b324)8 =(6a2x5+3b3y)(6a2x5-3b3/). 例4.分解因式： (1)(c-y)2-: (2).4(c-则)3-(a-b)3, (3)4(a+b)8-9(a-b);(4)(a+by)2-1. 分析这里每一个多项式都是平方差的形式，所以都可以利用上面的公式1.例知，在(1)里，x一y就相当于公式里的a在'(2)里，2(c一y)相当于公式里的a;在(4)里，1相当于公式里的b ·183· ==========第190页========== [解1 (1)(x-g)2-22=[(c-y)+[(x-y)-幻 =(c-y十)(c-y-2)； (2)4(c-y)2-(a-b)2=[2(x-y)]2-(a-b)8 =[2(c-y）+(a-b)][2(x-y)-(a-b)]=(2c-2y+a-b)(2c-2则-a+b); (3)4(a+b)2-9(a-b)2=[2(a+b)]3-[3(a-b]8 =[2(a+b)+3(a-b)][2(a+b)-3(a-b)]=(2a+2b+3a-3b)(2a+2b-3a+3b)=(5a-b)(-a+6b)=(5a-b)(5b-a); (4)(aac+by)-1=[(ac+by)+1][(ac+by)-1] =(ac+by+1)(ac+by-1). 注意在第一步分解成因式时，不要省掉中括号，但以后要把这些括号内尽量化简，改用小括号， 习题44(1) 分解因式： 1.a2-963 2.9x2-4y2. 3.a4-4b2, 4.a6-b8 5.16x16-2y2. 6.25a2bc16-1. 7.1-4r2e. 8.(a+b)2-9. 9.(2x-3y)2-4a2 10.(a+2b)2-(x-3y)2. 11.4(a+2b)2-25(a-b)2 12.a2(a+2b)2-9(x+y)3. 13.b2-(a-b+c)2. 14.(a+b)2-4a2. 15.(-y+2-(2c-3y+42)2.16.4(x+y+2)2-9(x-y-2)2.例5.分解因式： (1)a-b4: (2)a*-9b4, (3)a8-81b, (4)a28-b18. 0184· ==========第191页========== 【解](1)a4-b4=(a2)2-(b2)3=(a2+2)(a2-b2) =(a2+b2)(a+b)(a-). 说明a2一b?还可以应用公式来分解，要继续分解到不能分解为止.但a2+b”不能再分解，就把这个因式照抄下来，不要漏掉. (2)a-9b4=(a2)3-(3b2)3=(a2+3b2)(a2-3b2).说明a-3b不能再分解了，因为3不能化成一个有理数的平方的形式. (3)a-81b8=(a4)2-(9b4)2=(a4+9b4)(a4-96) =(a4+9b)[(a2)2-(3b2)]=(a4+964)[(a2+362)(a2-3b)]=(a4+9b4)(a2+b)(a2-3b2). (4)a26-b16-(a8)2-(b)2=(a8+b8）(a3-b8) =(a+b8)[(a4)2-(64)2]=(a8十b8)(a4+b)(a4-b)=(a8+b8)(m4+b4)[(a2)2-(⑦2)2幻=(a8+b8)(m4+b)(a+b)(a3-b2) =(a3+b8)(a4+b)(a2+b2)(a+b)(g-b). 例6，分解因式： (1)a3-ab3 (2)4-9ab (3)a2-b2+a-b: (4)5(a2-b2)-a+b [解](1)先提出公因式，再应用平方差公式，得 a3-a62=a(a2-62)=a(a+6)(a-b), (2)先提出公因式a2,得 a4-9a63=a2(a2-9b2)=a2[a2-(3b)2] =a2(a+3b)(a-3b). (③)分成两组，第一组应用平方差公式，再提取公因式(a-b) ·1856 ==========第192页========== a2-b2+a-b=(a+b)(a-b)+(a-b) =(a-b)(a+b+1). 注意如果把a2-b2+a-b变成a2+a一b2-b÷a(4+1)-b(b+1),就没有公因式，不能分解下去，达不到因式分解的要求.遇到这种情况，要换一种分组方法再试. (4)5(a2-b)-a+b=5(a+b)(a-b)-=(a-b) =(a-b)[5(a+b)-1]=(a-b)(6a+5b-1).: 习题44(2) 分解因式： 1.a4-x4y. 2.a8b8-1. 3.a4-16, 4.16a468-c8. 5.a-ab2 6.a2b3-4a26. 7.2-y+x-. 8.x2-2-x-. 9.x2ーy2+z+y. 10.x2-y2一c+y. 11.a2-462-a-26. 12.a2-4b2-2a+46, 13.a3-4ab2-a-2b. 14.5x2-5y2+x+y. 15.3x2-3gy2-x-y. 16.2x2-2y2-x+y. 17.a2+a-b2-b. 18.a2+a-b2+b. 19,o3-ab2+a-b, 20.a3-ab2-a2-ab. 2。完全平方的因式分解公式我们计算两数和或差的平方时可以应用下面的公式： (a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.反过来就得到完全平方的因式分解公式： a2+2ab+b2=(a+b)(因式分解公式2)，a3-2ab+b=(a-b)2(因式分解公式3).注因为a2+2ab+b2和a2-2ab+b2可以分别化成两个数的和或者两个数的差的平方，我们把它们叫做完全平方式， 例7.分解因式： ●186 ==========第193页========== (1)x2+2+1; (2)x2-6a+9a2: (3)4a2-12ab+9b2, (4)a4+2ab3+b. [解] (1)a2+2+1=ax2+2-x・1+12=(+1)3; (2)2-6ac+9a2=c2-2x3a+(3a)2=(x-3a)3, (3)4a2-12ab+9b2=(2a)2-2.(2a)(3b)+(3b) =(21-36): (4)a4+2a263+b6=(a2)2+2.(a2)(63)+(63)2 =(a2+b3)2 说明要确定能不能应用公式2或3来分解，先要看两个平方项，确定公式里的“与b在这里各是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab或-2ab.如果是的，就可以分解成为两数和或差的平方形式了.在初学的时侯，中间这个过渡性步骤，不要省掉。 例8.看下列各式的空格处各应该填什么，才能够应用上面的分解因式公式2或3. (1)x2+☐cy+25y2; (2)100x2-☐2则+4927， (3)9x2-36x+☐； (49)そy-ロ+ (5)36a-60a2bx+☐：(6)49a2-口+16b6. [解](1)这里a是c,b是5y,.∴.2ab应该是10xy,空白处是10； (2)这里a是10c,b是7y,'.2ab应该是140g,空白处是140： (3)这里a是3心，从36里分出2.3c,得23c6,∴.b是6，空白处应该是36： (④)这里a是豆则，6是号空白处应为2受y=aa ●187· ==========第194页========== (5)这里a是6a2,从60a2b2里分出26a,得2625b2u, .b是562，空白处应该是25b4c; (6)这里是7a,b是4b8,空白处应为2.7a463=EGab3. 例9.分解因式： (1)a3-8a2+16a; (2)9(a+b)2+6(a+b)+1; (3)*a2+2a2x2+a2: (4)(十y)2-4(c+y)b2+464, 【解](1)a3-8a2+16a=a(a2-8a+16)=a(a-4) (2)9(a+b)8+6(a+b)+1 =[3(a+b)]+23(a+b)1+12=[3(a+b)+1]8=(3a+3b+1)2, (3)4a2+2a22+a2=c2(x4+2x2+1) =a2[(c2)3+22.1+12]=a2(2+1)2, (4)(c+y)3-4(+g)b品+4b4 (a+g)2-2(+g)・(263)+(26)2=[(x+y)-2b2]8=(x+y-262)2. 习题朵4(3) 分解因式(1~10)： 1.x2-12x+36 2.x2+8x+16 3.4a2-20ab+25b2, 4.9x2+12cy÷4, 5.22-50xy+625x2. 6.x2-38x+361, 7.9x2y4+30c2y2z+25z2, 8.6+243x3+144. 9.1-6ab3+9a2b6 10.49a2-112ab2+64b4 在下列各题的空白处填上适当的数字或字母，使这个式子是一个完全平方式(11~14)： 11.☐a2-6a1. 12.4a2+☐ab+25b2, 13.64x4+☐+9y2。 14. 49a22c2-28abcd2+ロ。 ·188· ==========第195页========== 分解因式(15~20)： 15.a3-4a2b+4ab2 16.a4,x2+4a2x2y+4x2. 17.16a2b4-8ab3c2+b2c4 18.9(a-b)2+6(a-b)+1. 19.(a+2b)2-10(a+2b)+25, 20.4x(a+b)-12xy(a+b)2+9y2(a+b)2. 例10.分解因式： a2-a2+2a6-83 分析这里不能直接应用公式，但是把后面三项括成一组，先应用公式3使a2-2b+b变成(a-b)2,就可以应用平方差公式再进行因式分解. [解122-a2+2ab-b3=x2-(a2-2ub+b2) =c2-(a-b)2 =[x+(a-b)][c-(a-b)门=(c+a-b)(c-a+b). 注如果把前面两项与后面两项各分成一组，那末 x2-a2+-2ab-b2=(x2-a2)+(2ab-b2) =(xa)x-a)+b(2a…b), 这样就不能再分解下去，达不到因式分解的目的 例11.分解因式： 4c2+12x则+9y-16a2. 【解把前面三项括成一组，得 4x2+12ay+9yr2-16x2=(4x3+12ag+9y2)-16a3 =(2+3则)2-(4)2 -=[(2x+3y)+4】[(2x+3则）-4]=(2+8y+4z)(2x+3则-4). 倒12.分解因式： 2ab-a2-b2+1, 。189· ==========第196页========== [解]2ab-a2-飞2+1=1-(a2-2ab+b2) =1-(a-b)2=[1+(a-b)][1-(a-b)]=(1+a-b)(1-a+b)。 例13.分解因式： z2-2cy+y2-2-2ab-b9. a2-2ay+q2-a2-2ab-62 =(x-y)2-(a2+2ab+b2) =(w-y)2-(a+b)2 =[(x-y)+(a+b)][(x-y)-(a+b)]=(x-y+a+b)(a-y-a-6). 例14.分解因式： a2-4ab+4b8+6a-12b+9, L解]a2-4ab+462+6a-126+9 =(a-2b)3+2.3.(a-2b)+9=[(a-2b)+3]2=(a-2b+3). 习题44(4) 分解因式： 1.c2+2y+y-9a2. 2.4x2-a2-6a-9. 3.2+4ac+4a2-b2 4.9a2-x2+4x-4. 5.1-x2+2y-2y. 6.a4-x2+4ax-4a2 7.2-b2-x2+y2-2ay+2bx.8.a2+2ab+b2-2a-2b+1. 9.3a2-6ab+3b2-5a+5b.10.a2-4ab+4b2-a8+4ab2. 3。立方和或立方差的因式分解法从乘法公式： (a+b)(a2-gb+b)=a3+b3 及 (a-b)(g2+ab+b)=a3-3, 反过来就得到立方和或立方差的因式分解公式： 。190· ==========第197页========== a8+b3=(a+b)(a2-b+b)(因式分解公式4)，心3-b8=(a-b)(a2+a6+b)(因式分解公式5).例15.分解因式： (1)a3+8b3, (2)27a3-1; (3)a8-b, (4)8a8+27y22, 【解] (1)a3+878=a3+(2b)3 =(a+2b)[a2-a·(2b)+(2b)2]=(a+2b)(a2-2ab+4b); (2)27ー1(3a)8-1 =(3a-1)[(3a)2+3a…1+12约=(3a-1)(9a2+3a+1); (3)a8-b9=(a2)3-(b3)3 =(a2-b)[(a2)+(a2)(b)+(b8)2]=(a2-b3)(a4+a263+b); (4)8ax8+27y13=(2ax2)3+(3y)3 =(2x2+3y)[(2x22-(2am2(32)+(3y)]=(2x2+32y4)(4c4-6ax2y4+9r). 注意切勿把a3+b8分解成为(a+b)3,把a3-b3分解成为(a一b)。 习题4·4(5) 分解因式： 1.a3-125b3, 2.8a3+27, 3、x6十y 4.6+y. 5.a12+b12, 6.64c3-1. 7号”嘉 8.(x+y)3+8、 9.343m3-125n°。 10.1-8(a+b)3, ·191• ==========第198页========== 例16.分解因式： 8-y8. [解】先应用平方差公式，而后再应用公式4和5，得cs-2y=(3)2-(y）2=(c3+y3)(3-y) =(+)(x2-y+g2)(x-y)(2+y+g). 注如果先应用立方差公式，那末 y0=(ax2)8-(y2)3=(x2-y2)[(x2)2+x2y2÷(y2) =(x+y)(x-y)(a+x2y2+y4). 下一步要把4+x2y2+y4再进行分解，不太容易.实际上，x4+xy2+y何以这样分解： 24+x2gy+24=c+x2y2+y4+x222-x2y2=x4+2c2y2+y-x2y =(x2+2)2-（y)2=（x2+y2+y)(2+2-xy)=(x2+y+2y2)(x2-cy+y2), 这里要加上一个xy再减去一个x2,比较复杂了.以后如果遇到平方差公式与立方差公式都可以应用时，总以先用平方差公式比较妥当. 例17.分解因式： 3+x2+c-y3-y2-y, 分析先根据加法交换律与结合律把六项分成三组，第一组用立方差公式分解，第二组用平方差公式分解，这祥可以有一个二项公因式化-y. 目解】 c+2+-y3-则2-y =(3-g)十(x2-2g)+(x-y) =(-y)(2+y十y2)+(x十y)(-y)+(a-y)=(-y)[(w2+y+y2)+(x+y)+1]=(就-y)(x2+y+y2+x+则÷1). 注意如果把原式直接分成有x的与有y的两组，那末 3+x2+x一y3-2y2-y=x(x2+÷1)-ygy2+yT1) 这样就不能达到分解因式的目的。 ·192◆ ==========第199页========== 习题4·4(6) 分解因式： 1.a6-64b6, 2.a12-b12 3.x3+6x+y3+6y. 4.3-y3-2+2уy-ア。 5.c3-x2-3++y. 6.a3-m2-a+b-b2+2ab-b3。 7.a3+a2+b3+b2-2ab 8.3+2+b3b2+a+b, 9.a3+8b3+2a+4b. 10,a6+2+b6+b2, 4。完全立方的因式分解法从乘法公式： (a+b)3=a3+3a2b+3ab3+b3 及 (a-0)3=a3-3a2b+3a62-b3, 反过来可得完全立方的因式分解公式： a3+8m2b+33+b3=(a+b)3(因式分解公式6)，@3-3ab+ab-b3=(a-b)3(因式分解公式7).例18.分解因式： a6-3a4b+3a2b3-b8 [解]a-3a4b+3a262-b3 =(a2)3-3(a2)b+3(a2)b2-3=(a2-b)3. 例19.分解因式： a3÷6a2b+12ab3+8b3 L解]a3+6a2b+12ab2+8b3 =a3+3a2(2b)+3.a(2b)2+(2b)8=(a+2b)3. 说明要应用这两个公式，可先看两个立方项，确定公式里的α与b各是什么，然后看中间两项是否刚刚是3a和3b2,再看符号是否对头.一定要完全合适，才能应用公式。 ·193· ==========第200页========== 习题44(7) 分解因式： 1.8a3-12am2b+6ab2-b3 2.27x3+54x2y+36ac2+8y3. 3.27x3-108xy+144xy2-64y3. 4.1+12yア+48xy+64y°。 5。 -6ry+1272y2-8y 6.27-9y+02-0.7.a-3c+302-a. 8.1-3(x-y)+3(x-y)2-(c-)8. 9.x8-3y2+3ax2y4-2y8.10.1-12a2b2+48a64-64a68. §4・5二次三项式x2+px+q的因式分解法 在乘法公式里，我们知道，形如(x十a)(c+b)的积是心的 二次三项式，就是 (+a)(+b)=(十a)w十(+a)b =2+ac十bx十ab=x2+(a+b)w+b 把上面的演算过程反过来就可以得到 a2+(a+b)x+ab=a2+ax+bx+ab =x(花十a)+b(G+a) =(x+a)(就+b). 这就告诉我们：对于最高次项的系数是1的二次三项式，如果它的常数项能够分解成两个因数，使它们的代数和恰巧等于心的系数，那末就可以把它分解成两个一次因式. x2+px+g=(x+a)(x+6) (其中p=a+b,g=ab). 例1.分解+6x+8的因式. 分析因为常数项8是个正数，所以把它分解成两个因数时这两 •194• ==========第201页========== 个因数应当同号.又因为x的系数是正数，所以要把常数项分解成两个正的因数， 8有两种方法分解成两个正因数 8=1×8,这时1+8=9+6，8=2×4,这时2+4=6. 由此可以知道，只需把8分解成2×4. [解】x+6c+8=x+(2+4)c+2×4 =心2+2x+4+2×4 =x(+2)+4(+2) =(x+2)(x+4). 注在实际解题时，我们可以把上面演算中的中间步骤省去，直接写出结果，就是 x2+6c+8=(x+2)(x+4). 这个例子告诉我们，二次三项式x2+px十q中如果p和9都是正数，应当把g分解成两个正因数. 例2.分解因式： (1)x+7x+12; (2)2+12c+20, [解](1).12=3×4，而3+4=7， .".x2+7x+12=(+3)(+4). (2).·.20=2×10,而2+10=12，∴.x+12m+20=(g+2)(x+10). 例3.分解因式： x2-8x+15, 分析这里常数项是正数，但是一次项的系数是负数，所以要把常数项拆成两个负数的积，才能使它们的和等于一个负数.因为15=(一3)(-5)而(-3)+(-5)一8，所以令a=一3，b=-5就可以分解因式。 ·195· ==========第202页========== 重解]2-8+15=2+[(-3)+(-5)]心+(-3)(-5) =[x+(-3)][+(-5)] =(x-3)(c-5). 这个例子告诉我们，二次三项式心2++g中，如果P是负数，q是正数，应当把q分解成两个负的因数. 例4.分解因式： (1)2-31c+30 (2)x2-8c+12. E解] (1)‘.·30=(-1)(-30),而(-1)+(-30)=-31， .∴.8-31x+30=(c-1)(-30). (2),·12=(-2)(-6),而(-2)+(-6)=-8， .‘.c2-8x+12=(x-2)(北-6)。 例5.分解因式： x2y2+3x2y+2. 分析把原式写成(y)+3(y)+2,就看出它可用上面的方法来分解因式 解1.'2=1×2，而1+2=3， .∴.x2y2+3acy+2=(y+1)(cy+2).例6.分解因式： 2-19y+902y2. 分析这个三项式中，每一项都是关于字母x和y的二次项，并且它是按照x的降幂顺序同时又是按照y的升幕顺序排列着的.它也可以仿照例1的解法来分解因式 [解].'90=(-9)(-10)，而(-9)+(-10)=-19， ,∴.c2-19axy+90y2=2-9y-10ay+90y2 =c(x-9y)-10y(x-9y) =(x-9y)(x-10y). ·196◆ ==========第203页========== 注1.这种三项式，做，y的二次齐次三项式.熟练以后，也可以省去中间步骤，直接写出结果，但是要注意分解得到的两个一次因式，每一项中都要含有字母. 2.也可以把原式看成x2-19x+90,于是现在要找a,b,使得ab=90y2,a+b=一19y.从后一式看出，a,b一定是同类项，因此只要确定它们的系数就可以了. 习题45(1) 分解下列因式(1~16)： 1.2+15c+36. 2.c2-11am130, 3.x2+24x+80. 4.a2-17a+60, 5.g2+19a+60. 6.x2-23x+60, 7.x4+32x2+60, 8.2-61a+60, 9.x2b2+16ab+00, 10.x2-29x+100. 11.a2+25a+100. 12.a2+52+100, 13.2..3cb+262 14.x2+6cy+8y2. 15.a2+9ay+8g2 16.x2-12xy+27y. 分解下列因式，到不能再分解为止(17~20)： 17.a3-24a26+44ab2 18.a4+9a3b+18a2b3 19.a4-9a2+8. 20.a6+9a3+8. 例7.分解因式： x2-3心-10. 分析这里常数项是负数，把它分解成两个因数时这两个因数应当有相反的符号.但是x的系数是负数，所以这两个因数中，负的因数的绝对值应较大. [解1.·一10=(-5)×2而(-5)+2=-3， ..心2-30-10=[c+(-5)j(w+2) =(-5)(m+2)。 ◆197.◆ ==========第204页========== 例8.分解因式： a2+9a-10. 分析这里常数项是负数，4的系数是正数，因此要把一10分解成符号相反的两个因数，并且正的因数的绝对值应较大 [解】.'-10=(-1)×10，而-1+10=9， .。a2+9a-10=[a+(-1)](a+10) =(a-1)(a+10). 例7和例8告诉我们，如果二次三项式2+px十q中g是负数，那末9的两个因数应该一正一负，并且，当p是正数时，正的因数的绝对值要较大；”是负数时，负的因数的绝对值要较大.例9.分解a4-21a2-100的因式. 分析把原式写成(a2)2-21(a2)一100，它仍旧是二次三项式的形式，所以可用上面的方法，只是要把原来的x代换成α2 解1∴，'-100=(-25)×4，而(-25)+4=-21， .∴.a4-21a2-100=(a2-25)(a2+4) =(a-5)(a+5)(a+4). 注意a2一25还能分解因式，要再分下去例10.分解a3-5a6-300ab2的因式. 分析先把公因式a提出，得另一因式是a2-5ab一300b2.这里 -300=(一20)×15，而（一20）+15=-5.它可以用二次三项式的因式分解法来分解. 【解1a3-5a2b-300ab2=a(a-5ab-3006) =a(a-20b)(a+15b), 注意在每一括号的第二项中，不要忘掉写字母b。 ·198· ==========第205页========== 习题4·5(2) 分解因式： 1.x2-3c-4, 2.x2+10x-24。 3.2+a-20. 4.x2+x-30, 5.a2-9a-36 6.x2-7m-60 7.2-70y-18?y, 8.x2-6acy-16gy2、 9.g2-12ab-85b3 10.a2-9ab-52b2. 11.a4+a2b2-5664、 12.x2y+7-44、 13.a2-16a+60. 14.a2-7a-60. 15.a+32a+60. 16.a2+11a-60. 17.x2-20cy+96y2. 18.x2-4c2y-96e2, 19.x2+10cy-96y2. 20.x2+28ay+96y°. §4.6因式分解的一般步骤 上面我们学过了多项式因式分解的一些基本方法，利用这些方法可以分解某些多项式的因式。在解题的时侯，按照下面的步骤来做，可以使我们容易得出正确的结果 (1)先看有没有公因式.如果有，要首先提取出来。(②)再看能不能应用各种因式分解的公式. 1)如果是二项式，看能不能应用平方差公式，或立方和与立方差公式.如果既可以应用平方差公式，又可以应用立方差公式，总要先用平方差公式. 2)如果是三项式，看能不能应用完全平方式的公式。3)如果是四项式，看能不能应用完全立方式的公式.(③)如果是二次三项式的形式，看能不能分解成二个一次二项式 ·199· ==========第206页========== (4)如果是四项式或四项以上的多项式，看能不能把多项式分成几组，或调换各项次序之后提取多项公因式，或联合应用几种公式 (5)在分解因式之后，还要看能不能继续分解，~一定要分解到不能分解为止 (⑥)分解得到的结果要进行整理. 1)在分解因式之后，有相同的因式要写成幂的形式。2)在各个因式内，要进行化简.例1.分解因式： a46-a2b3+a3b2.-ab4 E1a46-a263+a362-ab4=ab(a3-a62+a26-b3) =ab[a(a2-b2)+b(a2-b2)]=ab(a2-b2)(a+b) =ab(a+6)(a-6)(a+b) =ab(a+6)*(a-6). 说阴先提公因式b.再分成两组提出多项公因式a2一b2.再把a2-b2分解成(a+b)(a-b).两个a+b的因式要写成(a+b)2的形式 例2.分解因式： 8(c+y)3-27(-y)3. 解】8(c+y)3-27(x-y)8 =[2(+)-3(a-)][4(c十g)2+2(c十y)3(-y）+9(a一y〉]=(2+2y-3m+3y）(4x2+8xy+4y+6ax3-6y2+9x2-18x+9y2)=(5y-x)(19a2-10awy+7y2). 说明先按照立方差公式分解，不要忘记系数8就是2,27就是 ·200· ==========第207页========== 3.两个因式内部要去掉小括号整理合并同类项.19x一10xy+7y虽然是二次三项式的形式，但不能再分解了、 例3.分解因式： x18-3x122y+3axgy12-y18. [解]a1s-3a22y+32y12-y8 =(8)3-3(x)2(gy)+3(8)(gy8)2-(y)3=(6ー9)=[(c3+gy°)(a3-д3)]3 =[(t十y）(a2-cy+y)(-y)(a2+g则+y2)门8=(+y)3(a2-2xy+y2)3(x-y)3(2+cy十y)3. 说明先化成两数差的立方.x一y可以用平方差公式继续分解，也可以用立方差公式继续分解，应该用平方差公式，然后再用立方和差公式分解.注意在括号[]外边原来有指数3，在最后一步中，去掉中括号时，根据积的乘方法则，每个因式都要有指数3. 例4.分解因式： ·a2-2ab+b2-5a+5b+6. E解1a2-2ab+b2-5a+6b÷6 =(a-b)3-5(a-b)+6 =[(a-b)-3][(a-b)-2] =(a-b-3)(a-b-2). 说明先分成三组，前面三项一组，可化成(a一b)2,第4第5项一组，可以提出公因式一5，这样就化成(a一b)的二次三项式的形式，再照 二次三项式分解 例6.分解因式： (1)-a2+6ab-9b; (2)-心2-3c+4. [解] (1)-a°+6ab-9b=-(a2-6ab+9b2)=-(a-3b)3; (2)一心2-3十4=-(2+3心-4)=-（化十4）（花-1）. ·201· ==========第208页========== 说明这两个式子在提出负号之后，就比较容易分解因式，但是切勿漏掉负号.如果把-a2+6a6-9b做成a2-6ab+9b2=(a-3b)2,ーx2-3x+4成x2+3x4=(c÷4)(c-1),那错了。 习题46 分解因式： 1.3x5-192y° 2.64x2y-y5. 3.a3(a-b)+b3(b-a). 4.6.cy+15x-4y-10. 5.3x4+33-24x-24, 6.a+a2-ba-ab+2ax, 7.2+42 8.a5-81ab4 9.x5-9x3+8x2-72. 10.x2(2-20)+64 11.x4-10x222+9y 12.a4-18a2b2c2+81b4c4, 13.3-ax2-6b2x+ab2 14.a2-9b2+12bc-4c2, 15.x9-y. 16.a2+a+b-b2, 17.4(1-b2-ab)-a2 18.x3-7x2-4x+28, 19.4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)2. 20.ab(x2+1)+x(a2+b2). §4·7最高公因式 在算术里，我们学过几个整数的最大公约数.现在我们先来复习一下最大公约数的意义和求法. 任何一个整数，如果它能够整除另一个整数，就叫它做后 一个数的约数（或因数）.例如12是36的约数，12也是60的约数.几个数共同的约数叫做这几个数的公约数，例如12是36和60的公约数.儿个数的公约数可能不止一个，例如12是36和60的公约数，6也是36和60的公约数.在几个数的所有公约数里，最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数，例如12是36和60的最大公约数. 202 ==========第209页========== 要求两个数的最大公约数，要先把这两个数分解成为质因数的连乘积，并把相同的质因数写成幂的形式.把这两个数的所有相同质因数（如果这种质因数是用幂的形式表示的，那末要把次数最低的一个幂选出来)都选取出来，它们的连乘积就是所求的最大公约数 例1.求36和60的最大公约数.[解136=22.32,60=22.35 .∴.36和60的最大公约数是22.3=12. 注对于质因数2，要取22，因为如果只选用2，那末2×3=6，就不是36和60的最大公约数.对于质因数3，要取3，因为如果取32，那末22.32=36，就不是60的约数，因而不是36和60的公约数了.例2.求96,192和288的最大公约数[解]先把它们分解成为质因数的连乘积. 96=25.3,192=26.3,·288=25.32, .°.所求的最大公约数是25.3=96 类似地在代数里，我们有时也要求几个整式的最高公因式.所谓几个整式的最高公因式，就是这些整式的公因式中次数最高的式子.现在把求几个整式的最高公因式的方法，举例说明如下： 例3.求16a3bx2,24a64x3,-32abx4y的最高公因式. 【解]这三个代数式都是单项式，已经都是各个因式的连乘积的形式.我们只要选取它们共有的因式就是了.拿数字系数来说，16,24，一32的最大公约数是8.（负号通常不要选入·) 拿字母因数来说，我们选各个代数式共有的字母，而且选各个字母的最低的幂，得aw2bx2∴.它们的最高公因式是8abx2。 .•203· ==========第210页========== 注在代数里，我们叫最高公因式而不叫最大公因式，因为我们只考虑它在所有公因式中关于各个字母的次数是最高的，至于它的值，如果字母取小于1的值，那末次数越高，代数式的值是越小的. 例4.求 a-a364-a83-6# a4-2ab2+b4,a8-3a462+3a2b4-b6 的最高公因式. 解]这几个整式都是多项式，要先分解因式. a-a86+a83-64=a3(a-B)+83(a-8) =(a-b)(3+b3) =(a-b)(a+b)(a2-ab+b), a-2a62+b4=(a2-b2)2=[(a+b)(a-b)]2 =(a十)2(a-b)8 a8-3a4b2+3a64-b8=(a2-b2)3=(a+b)3(a-b)3. .'.最高公因式是(a+b)(a-b).例5，求 (a-)(c-a), (b-a)(a+c),(a-b)(b+a) 的最高公因式 解](a-b)(c-a)=-(a-b)(a-c)； (b-a)(a+c)=-(a-b)(a+c);(a-b)(b+a)=(a-b)(a十b)。 。.最高公因式是一b 习题47 求下列各式的最高公因式： 1.39a5b32,26ab2,-52a464c2 2.a"bc+ab2c,a26-b3,a5b7. 3.(匹一y)(y2)(名一c),(y一x)(2-y)(2+) 4.x2-3x+2,x2-4c十3，x2+x-2。 口2040 ==========第211页========== 5.(x2-y2)2,(x+y)2(c-y),(y-x)2(y十x)。 6.(a3+b3)2,a4-04,が2-a3 §4·8最低公倍式 在算术里，我们也学过几个整数的最小公倍数.现在我们先来复习一下最小公倍数的意义和求法、 一个整数，如果它能够被另外的一个整数整除，就叫它做后一个数的倍数，例如36是12的倍数，36也是18的倍数.几个数共同的倍数叫做这几个数的公倍数，例如36是12和18的公倍数.几个数的公倍数是很多的，例如36是12和18的公倍数，72也是12和18的公倍数.在几个数的所有公倍数里，最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数.例如36是12和18的最小公倍数， 要求两个数的最小公倍数，要先把这两个数分解成质因数的连乘积，并把相同的质因数写成幂的形式。把两个数的所有的不同质因数（如果某些质因数有幂的形式，要选取次数最高的)都选取出来，它们的连乘积就是所求的最低公倍数. 例1.求12和18的最小公倍数. E解] 12=22.3,18=2.32 .∴.12与18的最小公倍数是22.32=36例2.求96,192和288的最小公倍数.[解196=25.3,192=26.3,288=25.32， .∴.所求的最低公倍数是26.32=576 类似地，如果一个整式A能够被另一个整式B整除，那 末A就叫作B的倍式.例如2一y能被如一y或者x十y整 ◆205◆ ==========第212页========== 除，所以x2一y2是一y的倍式，也是x十y的倍式. 几个整式共同的倍式，叫做这儿个整式的公倍式.例如，对于两个整式 a2b和ab2 来说，下面的这些整式 a2b2,a263,a363,a4b2,264,… 都是它们的公倍式 在几个整式的公倍式中，次数最低的一个整式，叫做它们的最低公倍式.例如a是ab和ab2的最低公倍式. 求几个整式的最低公倍式的方法，和算术里求几个整数的最小公倍数的方法很相象，举例说明如下. 例3.求-8ac2y34,-12a3y2%,-2awy52的最低公倍式. 【解]这三个式子都是单项式，已经都是各个因式的连乘积的形式， 拿数字系数来说，8,12,2的最小公倍数是23.3=24.(负号通常不要选入，因为没有负号也可以整除.)对于字母a,x,,名各取最高的幂，是a3y. ·∴.这三个代数式的最低公倍式是24axr公4 例4.求(a2-b)2,(a3+b3)(a3-b),a(b+a)3的最低公倍式. [解更分解各个式子成因式： (a3-b2)2=[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)3; (a3+83)(a3-B*)=(a+6Xa2-ab+62)a-b)a2+ab+62);a(b+a)3=a(a+b)3.”.最低公倍式是 a(a+6)8(a-6)2(a2-a8-+B2)(a2+ab+62) ·206· ==========第213页========== 例5.求x2+y2,y2-x2,x8-y8的最低公倍式. 【解]分解因式： 2+2y2=+y2, g-x2=-(x2-y2)=-(花+则）(x-y)；3-2y3=(-y〉(2+y-+y2). .最低公倍式是(2十y)(c+y)(c-y)(2+y+y).说阴x2+y2与x+y不同，不要把+y当作(x十)2. 习题48 求下列各式的最低公倍式： 1.39a5b2,26a3b,-52a4bc2. 2.a2bc+ab2c,a2b-b3,asbi. 3.(xーy)(yー)(x+z),(yー)（гy）(z+). 4.x2-3x+2,x2-4+3,x2+x-2. 5.(2ー2ア)3，(x+)(x-y),(y-x)(у+)。 6.(a3+b3)2,4-b4,b2-a2. 本章提要 、 1.因武分解的方法及公式 (1)ab+ac+ad=a(6+c+d); (2)ax+ay+b+by=a(エ÷y)+(+y)=(x+y)(a+b); (3)a2-b2=(a+b)(a-b); (4)a2±2ab+b2=(a±b)2, (5)a3士b3=(a±b)(a2干a6+b2); (6)a3±3a2b+3ab2±b3=(a÷b)8: (7)x2+pa+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+8) (a十b=p,ab=g) ●207· ==========第214页========== 2.最高公因式与最低公倍式 因式选 取法 名 称 意 义 因式种类 因式的指数 几个整式的最高 能整除各式的次 各式所有相同的 各式中最低的 公因式 数最高的整式 因式 指数 几介整式的最低 能被各式整除的 各式所有不同的 各式中最高的 公倍式 次数最低的整式 因式 指数 复习题四 1.回答下列问题： 什么叫做多项式的因式分解？ 多项式的因式分解有那些方法？有那些公式？因式分解的公式与乘法公式有什么联系，又有什么区别？ 多项式的因式分解的步骤怎样？ 2.什么叫做几个整式的最高公因式？怎样求法？什么叫做几个整式的最低公倍式？怎样求法？ 下列因式分解，是否正确？如有错误，改正右边(314)： 3.a2-b2=(a-b)2 4.a2-4b2=(a+4b)(a-4b).5,16a16-b2=(4a4+b)(4a4-b). 6.2-(b+c)=(a+b+c)(a-b+c). 7.-a2+2ab-b3=(a-b)2. 8.a(c-1)2-b(x-1)=(x-1)2(a-b). 9、a2+a-b2-bxa(a+1)-b(b+1)=(a-b)(&+1)(b+1), 10.a2-b2+2bc-c=a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b-c). 11.(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)(a-b)(a2+ab+b2) =(a+b)(a-b)(a2+ab+b2). 12.(a3+b3)2=(a+b)(a2+ab+b2)2. 13.x2-5x-6=(x-3)(x-2). 14.x2-G-6=(-2)(x+3).◆208· ==========第215页========== 分解下列各式的因式(15~44)： 15.a4-a26b2 16.ax2(m-2)+3x(n-m). 17.3ab(c-d)-9b2(d-c). 18.(+y)3-4ry(r+y). 19.5++x2+x. 20.ax-a+x-1. 21.bx+1-b-x. 22.ac-bx一b+4. 23.ax-ay+bx+cy-ca-by.24.3xy-9x12. 25.a2-b2-a+b, 26.a2+4ab+462-9c2 27.a2+2ab+b2-4a-45. 28.a4c-c5 29.a2-x2-ab-bx. 30.+6x2-135 31.c3-5x2-24c, 32.a44-a3x3-a22+1, 33.5a-5b2-3u+3b. 34.4-x2+2x8+x4 35.a12b+b13 36.a+b2+2(ab+ac+bc). 37.a3-b3+a(a2-b2)+b(a-b)2. 38.(2-2y2-2z2)2-4ye2. 39.x2+2cy+y2-x-y-6. 40.4a2b2-(a2+b2-c2)2. 41.a2-b2+x2-y2+2(ax-by). 42.x6-27y-4+9gy4. 43.x24-y24. 44.c4-33+8x-8. 利用因式分解，计算下列各式(45~48)： 45.3542-3532, 46.822-802 47.1.36-0.362 48.54.12-51.12 求下列各代数式的值(49~50)： 49.a2-b,其中a=-5.6,b=4.6. 50.a2-4b2,其中a=-3.8,b=-3.1.用两种不同方法，求出下列的积(51~52)： 5.1.（a2+2ab+b)a2-2ab+b2). [提示：(1)(a+b)(a-b2=[(a+b)(a-b)门2=(a2-b2y=…, (2)[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)-2ab]=….] 52.(a8+3a2b+3ab2+b3)(a3-3ca2b+3ab2-b3).化简(53~55)： 53.(a+2b)3-(a-2b)3 54.(8a6+27b6)÷(2a2+362)-(8a6-27b6)÷(2a2-3b2), ·209· ==========第216页========== 55.(a2+b2)(a4-a2b2+b4)-(a2-b2)(ad+a262+b4).用简便的方法求下列各代数式的值(56~60)： 56.(a2-b2)÷(a-b)+(a-b)2÷(a-b),当a=35 57.(°+하)(a+)-(a+-(a+),当-3号，b -2 58.(a-b)(a2+ab+b)+3ab(b-a),当a=-3.7,b=6.3. 59.xy+1-x-y,当x=0.99,y=1.03 60.(a+b)(a2-ab+b2)-9b8，当a=-4.368,b=-2.184.*分解因式(61~65)： 61.+2y2+y4.提示：变成+2xy2+y4-x2y.] 62.4x4+1.[提示：变成44+4x2+1-4.] 63.x4+5x2y2+9y. 64.4a4-24a2b+25b4 65.x4+y+2-2x2y2-2x2x2-2yz2. [提示变成+2y4÷24+2x2y2-2x2z2-2z2-4x2y.] ·210· ==========第217页========== 第五章分式 在第三章里，我们讨论了整式的除法，但是整式的除法不一定都能够整除，例如2+3+5就不能被心十1整除.和整数除法里由于不能整除因而有分数的表达形式一样，在代数里，我们还必须进一步研究整式以外的另一种有理代数式一分式。 §51分式 1。分式的概念 代激式，心+1， 5 (x+y)(x-g)等都是有理代数式，但除式里含有字母，我们把它们叫做分式.就是 除式里含有字母的有理代数式叫做分式， 分式的写法，和分数一样，用一条横线作为除号，把被除式写在横线的上面，叫做分子，除式写在横线的下面，叫做分 母.例如在分式是里，分子是1，分母是4在分式十号里， 分子是化一1，分母是+5等. 注瘢生°，音-是-5等不是分式，因为这里没有合字母 的除式.这两个代数式都是整式 2。分式里字母的值的限制我们知道，任意有理数总可以进行加法、减法和乘法的运算，所以在整式里，字母可以 ◆211e ==========第218页========== 取任意数值.但是在分式里，分母所包含的字母，就不一定可 以取任意值.例如分式号就表示a除以6所得的商，这里分 子α可以取任意数值，但分母b不能是零（因为用零做除数是没有意义的).一般地说，在一个分式里，分子中的字母可以取任意的数值，但是分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 例1.下列各分式里，字母x的值有什么限制？ (2)+3 (3) 5 心-29242i (4) ca -a 【解】（①）在子里，x不能是零，即心≠0(②在心+号里，由于x=2时，心-2=0，所以≠2 化一2 ）在5。里，由于如=一2时，+2=0，所以≠-2(3) (④在8里，由于=8时，-2=0，所以*® 以后我们遇到分式，总假定分式里字母所取的值不会使分母等于零. 3.分式的值分式是一个代数式，所以我们可以按照求代数式的值的方法，把分式里的字母用指定的数值代入，按照指定的运算进行计算化简，就可以得出分式的值采. 例2.求代数式 心+3的值： (1)当=2； (2)当=-2； (3)当=一4 (4)当x=2 (6)当=1， 解1 (1)当=2时，c-12-11 G+32+3万5 ·212● ==========第219页========== (2)当心=一2时，ー1-2-1 心+3=-2+3瑞-3， (3) 心-1-4-1 当0=-4时，+=-4十3=5， 当如=2时，고-1 5 (4) 3 +32+317一179 5 (5)当心m1时，-=1=0=0. x+31+34 例3.求代数式 204的值： (1)当x=3,y=1; (2)当x=7,y=3； (3)当x=-2,y=-4; 2 (5)当c=0,y=-1. E解] (1)当心=3，y=1时， 2ay231=6=2 20-3g-23-3.13 (2)当c=7,y=3时， 2ay2.7.342 2c-3y27-335=82 (3)当x=-2,y=一4时， 2g=2(-2)(-4)162m-8测2(-2)-8(-4"-4+1运=2()当-2号・ー号时 213• ==========第220页========== (-2불)(8)(-)() 2x-3y 2(-22)-8(82)-6- 2 -35 2 35 1 431 31131￥ 2 ()当=0，y一1时， 2y20(-1)=0=0. 2m-3y 20-3(-1)3 习题51 1.下列各代数式里，哪些是整式？哪些是分式？3,-,，3，-3，a2-b2 a2+b· 2.下列各代数式里，哪些字母的值有哪些限制？ 号：②8)国. 求下列各分式的值： 3.；()=3;a)-子；（周）=-号；（④x=0.02. 4.千号=5,2=-5；-：国z-2. 6.-山回=-受2x+7 (3)x=0; (4)x=0.2. 6.是：a四-；②)=3(8)=3；④z=-景：1 7.2g0)=出阅=-山3)-15国-0. 8.88；①)a=3,8=-四4-5,0=-7 0214● ==========第221页========== 9.a2+2ab-+b2 a2-2a6+b2(1)a=3,6=2;(2)a=3,b=-3. 10.a2-2ab-3b2 a2_3ab+B;(1)a=2b;(2)a=3b. 11.2-5ax+8a2 x-3ac+2a2;(1)x=3;(2)x=-3a. 12.a-0+;=4吲②)x=- x+2cx2-3a2c+4a3 3a。 §5·2分式的基本性质 在算术里，我们已经知道，分数的分子和分母都乘以不是零的相同的数，分数的值不变.例如 1 11×22.1212×6=2 33×2=61818×6 这一性质叫做分数的基本性质 在学到有理数以后，这一性质可以推广到分子分母是负效的分数.例如 3 8×(-) 一1 -16-1ó×() 5 分式的分子分母实际上都是数，而代数式的值也总是一个数，所以这一性质还可以推广到分式 因此得到分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以不等于零的相同的代数式，分式的值不变。即 ◆215● ==========第222页========== a点加左÷m bm (m÷0). 6÷m 例1.把分式的分子分母都除以a。 a [解]ag=a则÷=里 axat÷ax 说明这里4不会等于0，因为如果a等于0，那末原来的分式a a就没有意义了. 例2。把分式写5的分子分母都乘以一1. [解]-5-5×(-1) 5 3-a3-a)×(-1)-a-3 例3。把分式写的分子分母都除以2。 【解置 2g 2÷2 6x-8=(6x8÷2=3x-4· 例4. 把分式二的分子分母都除以只. E解】 2 2÷c21 30t34÷ac23ax。 习题5·2 1.把器的分子分母都除以ax. 3-05 2.把行”的分子分母都乘以-1. 3.把与3的分子分母都除以-1，4。起密的分子分母都除以风。 216● ==========第223页========== 5.把西的分子分母都除以加.203 6。把的分子分母都除以个适当的代数式，使分子变做1。 §5·3分式中分子和分母的符号变换 根据有理数的除法法则，我们有 +，-+끊-+3 从这里可以看出，一个分数的分子分母都有性质符号，分数本身也有性质符号我们还可以看出 -3=+3+3=-3 -6+6’-55. 那就是说，分子分母都改变性质符号，根据分数的基本性质，分数的值是不变的 我们还可以看出 -培培-3 那就是说，分子分母中一个改变性质符号，另一个不改变性质符号，那末必须改变分数本身的性质符号，才能与原来的分数相等， 因为分式的分子分母表示的是数，所以这些性质也适用于分式.于是有分式的分子分母变换符号的法则： 품-5-- 例1.把分母里的负号去掉，但要保持分式的值不变： 02179 ==========第224页========== (1) 5 -3c; (2)-od 62 (3) -a3i (4)bc -a [解](1)把分母的负号改为正号，要同时把分子也改变符号或者在分式前面添上负号，得 5-5-3m=3m 或5 5 3如=-3ac (2)分子分母同时去掉负号，得 -a"be a"bci (3)把分母与分式前面的负号同时去掉，得 3382 a=a25 (4)去掉分母的符号之后，要把分子或分式前面的负号中再去掉一个，得 -8c=bc或--bc=-bc a -aa 例2.整理下列分式，依照心的降幂排列分子分母的各项，并使分子分母的第一项前面都是正号： (1)5+x (2) 5- 3-心 -c2+3 ().-5+c-2 3+89 (4).--2+心+22 -1-x-x3· I解】 (1)5+龙=x+5 +5 心+5 3-G 一+8(-+8)(-1)ー-3 (2) 5-x ー+5 (-然+5(-1) +3++3（ー++3）(-1) ー5 g2--31 ◆218◆ ==========第225页========== (3)-5+g-x2-二2++5=少2-"5 3+优 c+3 化十3； (4)--2++2m=-2a2+-22a2+-2 -1-化必2=一x2-花-1x2+x+1 习题53 把分母里的负号去掉，但要所得的分式与原式相等： 1.二56 ご50.3。-3.,4-二%7oc* 整理下列分式，使分子分母都按照父的降幂排列，并使分子分母的第一项前面都是正号： 5. 6.-1-x+x2 3+ー3 7.1-x2+x 一5+ 3-x-x2 1+x-2x2+33 8.-2+2· 9. 7-父 -(5-x-x)·10.-ー+212-38 §54约 分 1。约分的概念在算术里，我们已经使用过约分来化简一个分数.在代数里，我们也可以应用分式的基本性质，把分式的分子分母同除以一个它们的公因式，把分式化简（或约简)，这样一种变换叫做约分. 例如把分式8的分子分母阿除以a6,得到b÷ab ab2÷ab 一克，这样，就把原分式”约筒了. 2。最简分式（既约分式）一个分式的分子分母，如果没有1以外的公因式，就叫做最简分式或者既约分式.如 品，号等都是最简分式，面会，牛号等就不是最简3x’心+y 分式. 0219· ==========第226页========== 一个分式如果不是最简分式，我们就应该进行约分，把它化成最简分式. 3。约分的方法 (①)分式的分子分母是同底数的幂的约分 例1，化简((2)a5:()a;(4)Q5 g0。 【解1(1) as÷a=1=a, (2)2ia5÷a as 1 a÷ai=1; (3)a4a4÷a41 a9÷a年Q5; (4)a5a5÷a51 a0、ao÷a 一般说来，g可以分三种梢说进行化筒。 (1)当m>时，化m an=am-片； (2)当m=2时，aman=1; (3)当n).16.a2m+2孙 a2m+n。a9m+n。 a2 (②)分式的分子分母都是单项式的约分.例3.化简： (1)32a -15ab2o1572 (2) Babai (3) -a3g3 +20a62y20 -acnsi(4) -96ab*ay 解】把系数和各相同字母分别约简： (1)32c4x 72则9型 (2)-15ab21-36x10=一3bc10 Babxs 说明分母的因式约去后得1，分式变成整式。 (3)之a2，1 -acys aai说明分子的因式约去后得1。 •221· ==========第228页========== (4)+20a*62y20 5a22y10 -96a36x6=-2462n. 说明分母的负号一般要移去. 习题54(2) 化简： 1.163b2c 2. 15ba2ye3. -25a2s 24a2b8c2·25ay228· 15a5・ 4.144a4612c15 5. (a263)2 6.(a2b8)3.ab2 -128ab8cg. a3b7-· (a56)3· 7.-32a3b5x2y3 8. （-a263)8.(xy)2 （24a6xy4)2·(-ax3)(byi2)・ 9. 3am+16n+2 10 2amb2n+1 30ambn-· 6am+1b3:+4· (③)分式的分子分母是多项式的约分.例4.化简： (1)-心一型 (2)(a-b)3 a3-b39 (3)2+4x-5 (4)03-02十心-1 2-3x+2 化-1 重解]先分解因式，再约简： (1) 化y a2--q2=(+g)(c-)+则 这意)不把三为约做意务g这是错误的(②)最后结果不要写做（®十因为分式的横线就表示括号，再用 括号就多余了. (2)(a-b)3 (a-b)3 (a-b)2 a-b=-(a-6)(aFab+6)"a"+ab+bi (3)2+4-5=(+5)(x-1）=+5 心2-3w十2 (c-2)(c-1)c-2 ●222· ==========第229页========== 注意不要把兰经二多约微，因为这样是分子分都 减去x2,不是同除以相同的代数式. (4)3-2+心-1=2(-1)+(-1=(-1)(x2+1) -1 化-1 化1 =2+1. 注意不要想ーの的ー보，这是说的公1 例5.化简： (1)(1-c)(1+c)2 (2) (c2-心-2)8 (2-1)2一 (-1(2-)· [解] (1)（1-)2(1±）2=(-1)2(+1)2 (x2-1)2[(x+1)(c-1)]2 ={r-1)2(c+1)2 (a+1)2(e-1=1; 说明(1-x)=(x一1)2. (2) (x2-花-2)3 [(x-2)(+1)]8 (2-1）(2-)3=-【(x+1)(-1门3(x-23 (c-2)3(w+1)3 -(x+1)3(c-1)3(c-2)3 1. 说明(2-x)=一(x-2)3. 习题54(3) 约简(116)： 1.a+b a3+b3· 2.a+b a4-4· 3. a2-b2 a2+2ab+b。 a8-b3 ab(a-b)3· 5. a26-ab· 6.9一丝 20y ·223· ==========第230页========== 7.1 （x-1)2· 8.31 x21· 9.x2+3c-28 10. a2+a-6 364-·a2+5a+6・ 11.a3-a2+a-1 （x3+y3)(x2+y+2) a(a-1)·12. (x3-y)(x2-ry+y)· 13.(a-b)(a2-b2) 14.(a2-b2)(a2+b2) (a+ab)(a2-ab)・ (a3-b3)(a3+b3)・ 15.a2-(b+c+d)2 [x2-(y-z)2][22-(c-y)2] (a-b)2-(c+d)2·16. y2-(a)エ(y+)2- 化成最简分式后，再求值(17~18)： 17.x2-2x+1 3-3x2+30-1,(1)x=31;(2）x=…49, 18.x2-7x+6 x2-9c+18’(1)x=-7;(2)x=3.1.化简(19~30)： 19.02b2 a(b2-a2· 20.(a+b)3(b-a)8 (a2-b3 (a2-b2)8 21.(a-2ab+8序· 22. (a-b)5 (2-2ab+a2)s 23.(a2-b2)(ab-a2-b2) 24. (a2-b)7 (b3+a3)(b3-a8) (b-4)7(b+a)· 25.(a3-b3)8 26. (6y-x)(y+x)3 (b-a)3(a2-5axy-6y2)2· 27.(1-a)2+a)(a+3) 28. (b-a)(c-b)(a+c)(4-1)(a-2)(a-3), (a-b)(b-c)(c-a) 29.(b-a)2(b+c)2(a-c)2 30.(b-a)5(a+b)￥(a-b6-o(e-a. (a-b)5(b+a)5· §5·5通 分 1。通分的概念在演算分数加减法的时候，我们需要把两个或两个以上的分数进行通分，使它们变成分母相同而 ·224· ==========第231页========== 又和原来的分数分别相等的分数.同样，我们在分式的加减运算中，也需要把两个或两个以上的分式变成分母相同而又分别与原来的分式相等的分式，便于加减.这种把两个或两个以上的分式化成分母相同的过程叫做通分 2。通分的方法在算术里，通分时要先求出儿个分数的分母的最小公倍数，作为这几个分数的最小公分母，然后应用分数的基本性质，把每一个分数的分子分母，同乘以一个适当的数，使变成与原分数相等而以这个最小公分母做分母的分数. 例1.把分数员与员通分先求分母12与18的最小公倍数： 12=22.3,18=2.32, ∴.12与18的最小公倍数是22.32=36.这两个分数的最小公分母是36， 其次，应用分数的基本性质，把两个分数都变成分母是36的分数： 55×31577×2141212×3-3618m18×2=36·分式的通分方法，也是类似的，举例如下： 例2.把分式c卫，82通分.5 73 置解】先求三个分式的分母的最低公倍式.因为三个分式的分母都是单项式，所以从观察就可以得到它们的最低公倍式是3.23a3bc4=24a3bc4,24a6c4叫做这三个分式的最简公分母. 然后把三个分式都化到与原来的分式相等而分母等于24abc4的分式，各分式可以同乘以适当的因式，得 ·225 ==========第232页========== 55.8c3 40ac3 3a2bc3a"bc.8ao24a36c4i T 7.2bc2 14bc3 12a302=12ao2,2bc-24a6c4i -3-3.3a3-9a38bc48bc4.3a3=24a6c4. 注通分是和约分相反的一种变换.约分把分子分母的所有公因式约掉，将分式化成较简单的形式.通分是把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使较简单的分式变为较复杂的形式，约分是对一个分式来说的，通分则总是对两个或两个以上的分式来说的.通分和约分的变换过程，都是根据分式的基本性质来进行的.我们必须保证每一个分式经过变换之后的结果，与原分式相等。 例8、把分式gg5通分 [解]两个分式的分母都是两项式，面且没有公因式.所以这两个分母的最低公倍式就是它们的积，这个最低公倍式，就是这两个分式的最简公分母. 5 5(a+3) 5a+15 a-3=(a-3)a+3)=(a-)(a+377(a-3) 7a-21 a+3(a-3)(a+3)(a-3)(a+3)・ 说明在分式里，分母要尽可能写成因式相乘的形式，不要乘起来，分子一般可以乘出来 4 2 例4.通分：心-9+20，-11如+30· I解]为了要求这两个分式的最简公分母，先要把两个 分式的分母分解因式： c2-9x+20=(花-5)(x-4)；x2-11x+30=(-5)(x-6). 所以最简公分母是(c一5)(c-4)(x一6)， ·226· ==========第233页========== 通分得 4 4(x-6) 2-9+20-7c-5)(x-4到=(x-5)(c-4(匹-6） 4-24 =c-5)(x-)(t-6 2 2 2(x-4) 2-11x+30=(c-5)(a-6)=(a-5)(c-4(c-6 2x-8 =(红5)(c-4④(x-6· 例5.通分：3+2x2-3x16x-x2 2-就’2+心’x2=4· 解1 2~g=ー(c-2), 2十心=龙十2， x2-4=(x+2)(x-2); 它们的最低公倍式是：(+2)（一2）. 3+2远=-2x+3=-2+3)(+2》 2-无 第-2 (w+2)(G-2) 2-3=-3x-2=-(3w-2)(c-2)2十x 心+2 (x+2)(x-2)’ 16-0:a x2-16c 02-4 =-(c+2)(c-2· 说明这里分子乘出来较长，不乘出来也可以，在求最简公分母时，负号不必引入， 例6.通分： a+8 b+0 a+c (b-c)(c-a)’(b-a)(a-e)’(a-b)(b-c·[解]分母的最低公倍式是(a-b)(b-c)(c-a). a+b (a+b)(a-b) (b-c)(c-a)(a-b)(b-c)(c-a)’ ●227● ==========第234页========== b+c 8+c (b-a)(a-c"-(a-B)(e-a) (b+c)(b-c) (a-b)(b-c)(c-a)’ a+c (a+c)(c-a) (a-b)(b-c)(a-b)(b-c)(c-a· 说明这里分母的三个因式，可以依照α，b,c的轮转次序来排，所以得a-b,b-c,c-a;也可以按照a,b,c先后次序排，就得a-b,b一c,α一c.我们可以按照任一种次序排，但自己心中必须有一标准，前后一致. 2 3 例7、通分yーy四+”マーず・[解】先将分母分解因式： .·x2y-y3=y(2-y2)=y(x+y)(x-2y）, cy+c2=心(y+心)=x(+y),2-y2=(x+y)(c-y); 它们的最低公倍式是：xy(+y)(x一y). G 2 y—g=gy(c+g)(心-g）-y(c+(-g’2 2 2y(x-y） g+花=a(c+g=g(x+(c-’3 3 3cy a3ーyア"（+9）(-g)amy(+9)(-) 习题55 通分： 1.8ay’-12a3222,4 -3 20c232· Bay 7cx Aac 2.-10a60’-15a9by’-25b6· ·228· ==========第235页========== 3.6，11 구-， a+6 6-a・3 5 7 4.已am’-r’a-a2 5.龙-思，x十y 8+，x2一u+y 6a 1+a b(c-d'a(d-c'ab· 7.2起 x-2 2+ー6’2+5x+6 8,6 24 5x-5’3x+3’x2-工· 1 1 9.a-b(b-0'-a(c-a 10. 1 1 ab(a-6)(c-a)'ac(a-c)(6-c)1 11.一呀’1 x3-2y’x4-y4 12.x+2 x+3 x+4 アーxー122-6+8’2+-6 §5·6分式的加减法 分式的加减法，可以依照分数加减法的同样法则来进行. 1.分母相同的分式的加减法这和分母相同的分数加减法一样，我们有下面的分母相同的分式的加减法则：分母相同的分式相加减，分母不变，分子相加减。即 b+c-b+c.b-c-6-c a十a=8；a-a=a 1#。+3 [解]三个加式的分母相同，只要对分子进行加减： ·229• ==========第236页========== 5a+663b-4aa+3b Ba"bc 3a26c3a"bc =(a+66)+(36-4n)-(a+3) 3a"bc 5a+6b+36-4a-a-3b 3a?bc 662 3a26ca2元 注意1.原来各分式的分子如果是多项式，合并成一个分式后原来的分子要添上括号；如果做的是减法，去括号时要改变括号内各项的符号.这种地方很容易做错，切须注意 2.加减法合并同类项之后，如果分子分母有公因式，要进行约分，化成最简分式 12x-73心+7 8x-15 例2。计算：6n-6-2ー-6-50-6 E解] 12c-73x+7·8x-1592-5-6x2-5x-6x2-6x-6=(12-7)-(3x+7)-(8-15) 2-5c-6 =12x-7-3x-7-8c+15 x名-5x-6 x+1 =x2-5a-6 x+1 =(x-6)(+ 必-6· 例3.计算：2-2a+1-2+3a-3+5a-4 &2+a+1a+a+1Ta2+a+1 ·230· ==========第237页========== [解]Q2-2a+1-a2+3a-3十5a=4 a2+a+1a2+a+1a2+m+1=(a2-2a+1)-(a2+3a-3)+(6a-4) a2+a+1 =a2-2a+1-a2-3a+3+5a-4 u2++1 0 a2+a+1=0. 说明分子合并同类项，各项恰好正负相消，得0，因为0除以任何不等于0的数是0，所以结果等于0. ,例4.计算：8050-2a2-50+1+2(a2+2 a2+1 a2+1. 42+1 【解] 3a2-ia-2a2-5a+1+2a2+4a2+1 a2+1 a2+1 -(3a-ia)-(2a2-5a+1)+(2a2+4) c2+1 =3a25a-2a2+5a-1+2a2+4 a2+1 =3a+3=8(g2+1)=3. a3+1a2+1 说明约分后分母变为1，分子是3，结果等于3。 习题56(1) 计算： 1.2a-363b-5c,4a2-5c3a86o2-3a72+3ab5c2· 2.c2-ax+a22a-3ax+3a25x2+2x-2a2 12a3x4 12a3x4 12a3x4● 3.+4+2m-7-+x-6x+3心+3一x+3一， 3-512-7x+22(x+2) 4.3ー4+-3--3=4・ ◆231· ==========第238页========== 5.5x-72x+52x-15 2+32+3:32+3c・ 2x3-4x3x2-6x 6.m-3x十2-2-3x+2 7.3a2+3a-1a2+2a+7a2+6a-5 a2-5a-3-a2-5a-3-a2-5a-3· 8.3x2-5ax+a2x2+ax+3a32x2-6ax-2a2+3ax+2a-x2+3ax+2a2-x2+3ax+2a3· 9.g+3m-522-4x+77x-12-x2x2-3x.-18x2-3x-18x-3x-18· 10品e+-.x2-9ax2· 2。分母不相同的分式的加减法和异分母分数的加减法一样，做分母不相同的分式的加减法可以用下面的分母不相同的分式的加减法则：分母不相同的分式相加减，先通分，再照分母相同的分式加减法进行. 例5.计算：4a5b-2b5a6+2+ 262 3a3 5ab· 解]各分式的最简公分母是30a2b2,4a2-5ab-2b-5cb+a2+b22b3 3a2 Bab =(4a2-5ab)15a2-(232-iab)10b2+(a2+b2)6ab 30a2b2 60a4-7ia36-20b4+50ab3+6a3b÷6ab3 30a2b =60a4-69a3b+56ab3-20b4 30a263 例6.计算：2-2c+2-6-2c+c2 a"c" b-c ·232● ==========第239页========== [獬1 a2-2ac+c 62-26c-+c3a2c2 6202 =(a2-2ac+c2)b2-(62-2bc+c2a2 a26c -a2b*-2ab"c-+b*c2-a*b2+24"bc-a2c2 a2b2c2 =2a2bc-a2c2-2a02+bc2 a262c2 -c(2a6-c-2a6+be=2a26-a2c-2ab2+b2c a2b223 a262c 例7.计算：1 Bay U一则ーy [解1 1 3则=1 Bay 必-3-27c-则(-y)(x2+则+y c2+y+y2-3型 c2-2y+y2 (c-y)(x2+则十y2）(c-y)(2+y+2y) 匹一) 心一斐 (x-)(x2+y+y2）x2+c则+y· 例8. x+2 w一1 、 计算：x-9w十20-2-11元+0 工解] x+2 心-1 c2-…9c+2)c-11c+30 0+2 化1 =(红-5)(ew-④到(x-5)(c-百=(+2)(-6)-(x-1)(-4) (花一6)(-4)(-6) =(02-4-12》-(2-5x+4)(元-5)(x-4)(x-6) 一さ号--合場しにすー16 ·233。 ==========第240页========== 习题56(2) 计算： 1.。、2-7 2.atb a-8 3x12x2· 3a2%-5ab2· 3.3axy-4_5y+7_6x2-11 232.4.1 1 d 2y8 x-7x-3 6.1+x 1- 5.1++1- 1+心+x-1-x+x2, 7.aa3+2ab2 8. 1 a+b a+2ba~b aë-b3a-b(a-b)2a2-b2· 龙+1 x-1 3 2 9.マ5あ+6一マ7+1亚・10。+a+豆+2-8 11.1x+3 23 1.エ+2(+1)(0+2)·12。yエ+yナ（ごー） 1 1 例9.计算：a-6j6-0+6-aj(a-可 1 1 [解] a-)(6-9+(0-a(a-g 1 =(a-b〔0-c-(a-b)(a-0(a-c)-(b-c) =abDb-oa-c） a-c-b十c (a-b)(仍-c)(a-c) a-6 =(a-b)(6-o(a-c) =(b-c)(a-c· 例10.计算： a2-bc b2-ac c2-ab a+の++6の)（の+の+a+）(6+の ·234· ==========第241页========== [解1 a2-bc b2-ac ca-ab a+6a+0+6+ca+D+a+o6+⊙ -(a2-be)(0+c)+(b-ae)(a+c)+(c2-ab)(a+6) (a+b)(a+c)(b+c) a2b+a2c-82c-bc2+ab*-1b2c-a2c-ac2+ac2+-bc2q2b-ab2 (a+b)(a+c)(b+c) 0 =(a+)(a+c(b+c)0 习题56(3) 计算： 2.8+ty-x(一2-2加y 22y-则+x2x2-· 3. b a2+62+ab a-6-a+26+6-a2b+a 1 1 4.a-b0-o+-aa-0@-bc-可 1 1 1 5.=ー(-)3~-(C-a~で-(a-by a-c aーb 6.a+b-c2-a+c2-b2· 2器-+二. 7.2二如24g 1 2 1 8.2-a(3-4a-1(a-5分+a-1a-2② a+b 6+c a+c 9. で6-of-as+ぁ-o(a-ej+ζa-ώ-) 10. a2-bc 62+ac+2+ab a-ba-⊙+b+0o-+(c=ac+ ·235· ==========第242页========== 例11.计算：x+8一2+4 -2· 分析这是一个整式和一个分式的代数和，把整式x+8当做再通分， [解1十8-+4=m+8)(x-2)-(e2+4) G-2 x-2 =2+62-16-z2-4 0-2 6x-20 心-2· 例12.计算：a+.1 a-1 解】a+,1，=(a-1)+1-2-8+1 aー1 a-1 a-1. 注意我们在整式一章中，学习过有余式的除法，如（α2-a+1)÷(a一1)时得部分的商a,剩下余式1.如果要表达它们之间的关系，我 们可以写做-a+1=8十1， 日品，和绑术里的罗-7号相类似1 4-1 这里应该注意，在算木里7号就是7+号，普通写做带分数7停，加号可以省去.但在代数里，不能把a十1 7写做w_1 a一工，如栗把加号 省去了，就和4×， a-Ti要混淆了。 习题56(4) 计算(1~8)： 1+1 2.a+b-a2 a-b· 3.x+3+6-x-2x2 花-2· 4,a+b+- a3-b32-ab+b· 5.(a-b)2a3+b8 a-b。 6.a2-b2+a8-68 a+b· ◆236· ==========第243页========== 7."+コ+ry+y. 8.x+5 一影 2+3x+2+3. 把下面的分式化成为一个整式与一个分式的代数和（分式的分子的次数要低于分母的次数)： 9.+x十1 x-1m, 10.a2 a-1· 11.(22+3x-4)÷(x十1).12.(3-1)÷(23+ー2) §5·7分式的乘法 分式的乘法，可以依照分数乘法的同样法则进行.分式的乘法法则：分式相乘，分子分母分别相乘.即 号×-a. 例1.计算： (1)Ba'b 2ab￥c Bay7r2g23 (2)2a3b2 a*cd bcuA女、462 (3)二7a2b 5cx)×(- 20cx2\ 6ay 6b3 【解】(1)分子分母分别相乘，得 3a2b 2ab'c3a2b.2abic Ba3b5c Bo7acg5am/.7ay2235ay产x. (2)分子分母分别相乘后，因分子分母有公因式，约成最简分式，得 24362 3a%cd 6a b2e2d 3ac5cd4b203cd4 10d3 (3)这里有三个负号，乘积有负号，放在分式前面，得 ·◆237· ==========第244页========== 7a2b 5cm×(-器)×(6ayi5无x 7a2b.20cx2.6ay' 6cx2.21ay2.5b2w3 7.20.6a3bcx22yr5 6·521a6cax2y 8y3 5bx3・ 例2，计算： (1)g2-b2a3+b3 2+b2"a3-b3i -5x+6.2+7z+12.2--20 (2)2+8x+16x2-8x+152+c-6 (8)(a2-4)3+8.22+2x+4 23-8c2+4a十4· [解1 (1)a2-ba3+b3(a2-b2)(a3+b3)a2+i3a3-63-(u2+62)(a3-by -(a+8)(a-8)(a+b)(a2-a8+82) (a2+62)(a-B)(a+a8+82)(a+b)2(a2-ab+b) (a2+b2)(m2+ab+b2) 注意计算的结果，必须约成最简分式. (2)x2-5x+6x2+7G+12.x2-G-20 x2+8x+16x2-8x+15x2+G-6 -(-3)(x-2)(x+3)(x+4)(c-5)(c+4) (c+4)2(x-3)(x-D)(x+3)(-2) -{-고 (3)心2-4就是女4 1 ·238· ==========第245页========== (-4).+8.2+2+4 3-8心2十48+4 =(x+2)(x-2)(x+2)(x2-2x+4)(x3+2x+4) (x-2)(c2+2c+4)(+2)3 =2-2+生=r2-2m+4. 1 例3.计算： (1)（0-22.a2+69 (a+62…(a-b)3 (2)·(8+a)3 a2+a6-62な하+20+3·(b-a) 【解](1).∵(62-a2)3=[-(a2-2)]3=(a2-2)8, (b2-a2)2,a2+b2(a2-622(a2+b2)(a+b)2…(a-b)(a+b)(a-b)3=[(@+b)(a-b)]2(a2+b2) (a+b)(a-b)2 -a+b)2ab)2(0+62】=a2+9, (a+b)(a-b) (2).(b-a)8=[-(a-b)]8=-(a-b)3 (b+a)3,a2+ab+b2 (aー+200+6·(6-a)3 (a+b)8 Ia-b (a+ab+8 .a2+a6+6.-(a-b）3 (a+)3 1 (a+b)3(a2+ab+b2)(a-b)3(a-8)2(a2+a8+82)2(a+6)2=-(g+)(a-) a2+ab+b8· 注遇到这类题目，先把分子分母中的字母，按照同样的顺序排列，相乘后就容易发现应该怎样把它约简。 "239● ==========第246页========== 习题57(1) 计算： 1.3xy5名 12x2 23ab? 5by2 3cx2 46x2`y2/ 2cx2 4ax2 2b2y· 3.a-b ai+a2b2 a2+aba2-ab· 4. x-5x2-9+3x3-25・ 5.3+3-y 6.a2b2+3ab 2a+1 (-(x+)· 4a2-1ab+3· 7.16ax2-9a2,x-2 8.a(x-b)b2x+ab2 x2-a2 x2-44x-34· bx千aba2x-a3x2-b3· .2-x=20.少-6.x2+5x x+2x-8x2-25x+1 10.2-8x-92-1x2-9x+8 x2+4x-5x2-17x+7222-25· 11.x4-8xx2+2x+1x-5 2-4x-5x2+2x+4x3-x2-2x· 12.(a-b)2-c2a2-(b+c)2(a+b)アー2a-(6-cy・ 13.2-(y-2)2-(x-)2 -(2-x)(y+2)2-・ 14.x2-2cy+y2-2,x+1-zx2+2cy+y2-2x-2y+2' . 15.x3+2y3+3axy(x+).x(x-2)+y23-38-3ry(y)(エ+2y)+2F・ 16.(+2y-+)・+。x3+y3x2-y2 17.2+2-3,x2+5x-6.22-4x+4.g x2-3c+2x2+x-6x2+6…E-1· 18. a+2b.a3+a%-ab2-b8.a-2ha3+a26+ab2+b3 a-462a4-b4 19.(如+)2.「-(-y)21 20.2-1.8 P-wLg2+J」 x21-x 21.a2-4a+3.a2-3&-4 16-a2a2-1-· 2.2-2e-3.8c-2-14 x2+3c-10x2-7x+12· 23.(a-b)3(b+a)3 24.(a2-b2)2(b3+a3)2 (a+b)3(b-a)3· b6-a6-(b2-a23· •240· ==========第247页========== 例4.计算： (+)1-) (2)2.3-b2、a4-74a2-b3462-a2 a+26a2+02(6-a)百-(a+26)6-4·[解1 (1)(+1-） =2+62.02+a2-(b2-a2) a 72+a3 =a2+b2,2a2 ga2+6=2a; ②)32·g6g-6-o2-9.46-02 a+25a+b3(b-a)2-(a+2b)b-a=2(a+b)(a-b)(a2+b2)(a+b)(a-b2 (a+2b)(a2+b)(a-b)3(a+b)(a-b)(26+a)(2b-a) (a+2b)2(b-a) =2(a+b)2-(a+)(a-b)(a+2b)(a-2b)a+26 (a+2b)2(a-b) =2(a+b)2-(a+b)(a-2b) a+2b a+2b =2(@+b)2-(a+b)(4-2b) a+2b =2a2+4a6+2b2-(@2-ab-2b) a+2b 2a2+4ab+2b2-g2+ab+262 a+28 =a2+5ab+4b2 a426 说明这是加减法与乘法的混合运算，仍按照以前讲的运算次序。 •241● ==========第248页========== 习题57(2) 计算： 1.(-0+80+8》..(e+-) 3.-(-4+0-a] x2-4 c2-9 x2+9x+20x2-9x+20 2-58+6x2+5x+6 x产.-16 x2-25 6.（++(-1-2》. 2ax ·/5a+5c+0a0g）出r+am+2 a+xa-a2-八a+x a-x 2+4。。4a/2a 4a a+工一1-a a21 9(+g0g-)xty a2+y2x+y/c4-y42x2 10. a26/ §5·8分式的乘方 根据乘方的意义，并且应用分式的乘法法则，我们很容易做分式的乘方. 例如： -6.6 aaa8, 65-666- aa 3· 一般地有 m个 () b.6…bb.b…b aaaa…a 第● n个 n个 。242● ==========第249页========== 分式乘方法则：分式乘方，分子分母各自乘方。即 (》”-(%是任意自然数). 例1.计算： 4b313 3a2. [解] 4b3a (463c)364b9x3 3a2 (3a2)327a· 例2.计算：(3ay0\5 2a畅. [解] Ba5ye5243x25y302a7=(-1)5(3axg8)5。 (2a64)5-32a2660, M3.计算（に（ず） 【】【'(巴 =十ayia.红+3(-） 81(ac+g)车 =28(c-3 81(c+y)· 注意分式乘方时，如果分子分母是积的形式，应按照积的乘方法则进行。 习题58 计算： 1.(￥ 2.(-聪.3b32y413 5a3y414 4. [5(8+273 4bx5·L2(x-y)」· 6(.(용)-[%+]6. 0243◆ ==========第250页========== 7()(-).a(m)・(-夢) 9.（+88(1+.0.-(（-￥》°(a°. §5·9分式的除法 在分数的除法里，我们知道，除以一个分数，等于乘以这 个分数的恒数，的如景一号-景×营、分式的除法，也依照 分数除法的同样法则来进行. 分式的除法法则：，个代数式除以，个分式，等于乘以把这个分式的分子分母对调后所成的分式。即 例1.计算： (1)3a263.6a6 cd· cda (2)-32÷3-2 2+y2-a8+ 【解](1)3a2b3÷5a2b-3a2b3×cdx cd cd'x cd 5a'b 3a2bcda 3b2da Ba2bc'd 5c (2)2-gy2÷3-=g2-y2×28+y 2叶可÷0+乎+× 人必3-2y3 =(如+(-3(2÷2)(x4一x2y2+2 (c2+2)(-则)(x+y十y)=(+(w-222+2y) o2+cy-y2 例2.计算： (1)÷(4-片 G十3 (2)(3x+6)÷2+x-2 ·244， ==========第251页========== [解1 (1)-_÷(4-）=4×1 优十3 x+3 4-G x(x-4) (a+8(4-3)"+8 (2)(3如+6)÷2+x-2-3(+2》×g” 1 02十c-2 3(+2)x3c (c+2)(x-1)心-1· 例3.计算： (1)x2-9.2-5x+6.x2+5c+62-1c2+5x-6x2-5a-6 (2)a2-b2÷a3-b3×a2+b2X a2+b3ra4+b人a+b· I解1 (1)2-9÷m2-5x+6÷x2+5x+622-1-x2+0x-6、x2-5x-6 ={g+3)(g-3x+5m=6×-5a-6(c+1)(-1)人心2-6c+6人x+5+6(+3)(x-3)(B+6(c-1)(x-6)(e+1)(c+1)(x-1)(优-2)(x-3)(c+2)(+3) =（r+6)(-6) (x-2)(c+2) (2)a2-b8.a3-b3ya2+62 a2+b3-a4+b4a+6 =2b2×a4+b×2+69 a2+6×0-0Xa+6(a+b)(a-b)(a4+b)(a2+b2)=(a2+b(a-b)(a*+ab+6(a+b a4+b4 a2Fa6+6* ·245◆ ==========第252页========== 习题59(1) 计算： 1.4 品 2.2-3a-10÷2-4 3-1 a2+a+1· 3.(m-1)÷m-1 m+1· 4.+÷(x+0. x3+2y3 5.（x+2,x2+2xy+y2 xy-y产x-2cy+y 6.x2-3x-4 x2-…16 +2—3÷+6x+g・ 7 ax ab ax (a-c)2÷ー÷（=）・ 8.16x2y÷（-20ax5y4\ ”+y 9.a2+5a+4÷5(a+1)2÷a-2a+T, 1 a2+a-2 1o.(2xな-y1 a2+x2 a4-04 例4.计算： 四(e+》÷(e-) (2)(+)(-공) 解1 (の)(+)-(끓)-41는1。×品品 ·246· ==========第253页========== (2)(+중)（공-）-ab·a26 a262(b+) =oax7a=ab(b+a)(6-a)ab 、ab 6-a' 例5.计算： ()9-6÷+b-8+6÷a24a+8 a-63 aba6+abi ②品 [解1 (1)a-b÷a2+b2-a+b÷a2+”a+b a2-b ab ab+ab3 =a-b×(a+b)(a-b）-&+b×ab(a+b）a+8 a2462 aba3+62 =(a-b)”(a+b)2 a3+b2a2+b3 =a2-2a6+62-(a2+2ab+b2）--4ab a2+b2 a2163i 号*帝是+1 ×+1- x+1 父-10(2-1)(2+心+1) ×-号号-0. 例6.计算： (2る+)：(+)12a 4a3 ·247· ==========第254页========== [解3 2a 4a2 2a+b-4a2+4ab+b2 2a+1 ÷（4-06-2a 2a 4a2 7 2a =2a(2a+b)-4a2、2a-(2a+b) (2u+b) ÷2a+b）(2a-6 4a2+2ab-4a2(2a+b)8÷2a-2a-b (2a4b)(2a-b) 2ab -8 2u+0÷(2a+b)(2a- 2ab -2a+-6产(2a+b)(2a-b)-b 2ab(2a+b)(2a-b）=-2a(2a-b） -b(2a+b)3 。2a+6 习题59(2) 计算： 고。(+)=（）。 2.(+봉+을)·(++) 6-)(-2）aー25 4(+小-(- 5. 2-(b-c)27 a2-(b+c)」 6.22（-）2÷(x+g)2-2(c-y)2-2x2ー(y+z)1.1。 m2-n2 （信+门 + m2+29n+n2 mn m. 8, 2 L 3x （(--÷ x+y 3x ·248· ==========第255页========== 9(a。+）(a5.2) 10.e-[e--g-] §510繁分式 我们前面所学到的分式，分子和分母都是整式.有时，我们也会遇到另外一种形式的分式。例如 1 ba 3a+6,c, a 等等.在这种分式里，分子或分母本身是一个分式，我们把这样的分式，叫做繁分式 繁分式实际上是分式除法的另一种写法，因此可利用分式除法的法则，把它化成普通分式（分子分母都是整式的分式).这种变换的过程，叫做把繁分式化简. 例1.化简繁分式： a+8 1 化十 1+ (1)a-bi(2) (3) i(4) a 1+ [解1 a+b () =a+b÷a-b a-6 4-6a-b e249 ==========第256页========== 1 (2) 후-(e+):(-)1 a =+1片x-1 a =a+1X6-a0+1 ax-1 ax-1 @中-(+》-a÷告 a =4X-a+1a+1 1 1+ (4) 8-(+÷6=4+1×1-=a+1a aa8- 繁分式也可以应用分式的基本性质来化简，如 a-ba+6X0 (1)a b"a bxa+b -XC a-6i 义 （e+)xa (2) aax+1 a (-t)xaaa-1i axa (3) a 1+ a (1+)xaa+ (4) 1*(1+a)×an+1 axa ·250· ==========第257页========== 2+1,1 例2.化简： x-1+1 花十x2-1 [解1】应用分式除法化简： 2+11 立。市-(+)(+是） 叶2 2(-1)(匹+1)+(+1)-(-1)÷(Q2-1)+x 花-1)(+1) x2-1 23-2+a+1ー+1÷3+o (c-1)(G+1) c2-1 2x2 =(c-1)(c+T×@+1)(-1少-2cs [解2】应用分式的基本性质，把分子分母都乘以2-1,得 2+11 w-1—+工=2(2-1)+(+1)-（然-1）心+必 (x2-1)+G x2-1 =2m2-2+x+1-+1=2x2=2 3-C+心 例3.化简：（①）石 (2) 【解] (1) b×b a axbb •251· ==========第258页========== 或 ÷=x 1=0eb c cxa ac (2) bXa a a 或 6=C÷ c a-cx 6=6 a 注意必须区别· 与令，这两个式子不相等，不同之处是两条a a 分数线的长短，较短的线是小括号，较长的线是大括号。 1 例4.化简：1一1+. 5 1 1 1 [解]1-1+ 1-1十6 c8-1 1-(1+以1 0 1 1(①+0 (x+1)(-1) 1- 化-1 1 c-1-c =1.心1 1 =-1一 心- 例5.化简： 1 、 1+- 1 1+ ·252· ==========第259页========== ·E92· 【一0+D ・[-一力 9-エ+ζ- 8 ·8 I 9-x+Iーx 9 10 6 ：c-xc29 86--3 9·c+1 -08 8乙T atg 50 89 0 0 ·II-8 ·I+E I-I 0-1 r+r 0I 宴剂 0I9班K T+ζ 飞+8=3+gT=-飞+r8 I+ZI+忆 I T+0忆 T+ζ (T+)+(T+Z)T+0 ©+r 2 T I+x T+忆 +T+ I十0I+I -+I T+0 I+x _wI+I I 0 0 I+x +I +I I 入 【揭】 ==========第260页========== x十 yーx 9. 1+y 1 10. 1-xy-x 1+x 1+y/ 1++22 本章提要 1.本章的重妥概念 分式，最简分式（既约分式），约分，通分。 2.本章的重要法则 (1)分式的基本性质： aama÷m bbm (m+0), b÷m (2)分式的分子分母变换符号的法则： 二=웅G-ab (3)分式的加减法则一同分母分式的加减法： 士=b으； a aa 分母不同的分式的加减法：先通分，再按同分母分式加减法做. &±d=bc±ad,ac (4)分式的乘法法则： a×e=aG, 6×a=bd· (5)分式的除法法则： +용웅 c ad ad Xc-bc (6)繁分式的化简法则： a =d adbX bc· d ·254· ==========第261页========== 复习题五 1.怎样的代数式叫做整式？怎样的代数式叫做分式？写出两个整式和两个分式来. 2.整式的值一定是整数吗？3x的值可以是分数吗？举一个例子. 3。分式的值一定是分数吗？2的值可以是整数吗？举-个例 子 4.整式内字母可以取任意值吗？a2+3a一5内的a可以取任意值吗？ 分式内字母可以取任意值吗？52内的x可以取任意值吗 有什么限制？ 6.叙述分式的基本性质. 7.什么叫做最简分式（既约分式）？写出两个最简分式来.写出两个不是最简分式的分式来，再把这两个分式化成最简分式。 8.下列约分方法是否正确？如果不正确，错在哪里？ (1)1 = 国禁-女 國+-； (④)& 9.下列演算，是否正确？如果不正确，错在哪里？ ④）+3-a-3-ax+3a-at-3c; a (2) 大、 x+az-ax+a十x+a· 10.下列演算，是否正确？如果不正确，错在哪里？ 西器-g兴1x2a2j ② ァ"at 求下列代数式的值(11~22)： 1.8,英中4=-子，6-骨、 12.-용，共中a-3,-6 •255， ==========第262页========== 13.2+2 2x-3y 其中20，y=宁 14.2-2y2 x-2y,其中0=1，y=-1. 15.ーr,其中=-2,y=-1x-4y 16.-中替共中-1， 17.-2+31，其中=- x3+2ax2-2c+5 2· 18.(x+3)(x-5) (x+2)(x-1)’ 其中x=一1是 2. 19.x+3 x+3,其中x=-5. x-3 20.-3,其申=-3. 21.,x+3 -3,其中x=-1 3x 22.8,其中x=-5. 在下列分式里，哪些字母的值有哪些限制(23~26)？ 23.3 24.、 龙+325. x-3 5x-2· 龙十3 26.3-E 化成既约分式(27~32)： 27.、x5y8-4c35 28.(x6-y)(x+y） 2y2-2c2y3· (x3+y3)(x4-y) 3x2-18bx+27b229. x2-4x-2130. x+2x-63· 2x2-1862 31.(x2-25)(x2-8x+15) 32.(x2+c2)2-46x2 (x2-9)(x2-7x+10)· 4+4bx3+4bx-c4 ・ 计算(33~42)： 33. 1 1 6b2a-36+2a+36-4a2-9b3. 4++r1 x+1 x+2 x+3 35. (c-1)(x-2）(2-x)(x-3)+(3-x)(1= 36.-3-1,x+1 a3+1 c-1. 38.2+5c+6÷(2+6r+8). 优+1 ●256· ==========第263页========== a+b 39. a-b+1 e a-b+1 40.4-6a+b a b· a+b a+b 41. 8+c 42. x2-3y2-2+2y2 月 x斐十2 必-y一名 约简下列分式，再求它的值(43~46)： 43.4a2+8ab+4b2 2a2-269,其中a=67, 040,6=-1.375. 44. 63-b (①+ab)2-(a+b,其中a=-51,b=26. 45.m2+2-2+n,其中m=15,n=-7,p=-12.m2-n2+p2+2mp 46.g2-3x-1822-12c+36，其中x=23. 化简(47~50)： 3 4.+1-gx-1 +-1· +1、1 48. 1+- x+1◆ 1.11ab ac be 49. 50. 3 a2.-(b+c ) ab 1+3. 1+7 *化简(51~52)： 51.（2y- 蛇-y2+2+y-2)÷4x4+4x2y+y2-4 x2-cy-2y2/ x24y+xy+ 52.a+a-2.「(a+2)2-a2 an+1-3an 3_1 4G2-4a2-a」 0257· ==========第264页========== 第六章比和比例 §61比 在算术里，我们学过两个数的比.现在先来复习一下 在日常生产和生活中，我们往往需要比较两个数或两个同类的量的大小.例如要比较两个数12与4的大小. 我们说12比4大，或者说12大于4.这个关系可以写做12>4. 但有时我们觉得仅仅知道这两个数哪一个大还不够，还要对它们之间的大小关系研究得更深刻一些.为此，我们又有两种研究的角度： (1)我们计算它们的差，得12一4=8，我们说，12比4大8 (②)我们计算它们的商，得12÷4=3，我们说，12是4的3倍. 再如我们要比较两个同类的量20米与5米的大小.从它们的差，我们可以得20-5=15，即20米比5米大15米.它们的差还是一个同类的量. 从它们的商，我们可以得20÷5=4，即20米是5米的4倍.这个商却只表示一个倍数，它是一个不名数 当我们从两个数或同类的量的倍数来比较它们的大小时，我们可以用比来表示.例如，数12是数4的3倍，我们可,258 ==========第265页========== 以说12与4的比是3比1. 同类的量20米是5米的4倍，我们可以说20米与5米的比是4比1. 为了表示两个数或两个同类的量的倍数关系，我们用 一个符号“：”（读做“比”），例如3比1写做3：1,4比1写做4:1. 两个数或两个同类的量的倍数关系不一定是整数倍数， 例如数16与6的倍数关系是16÷0--2号。我们说16是6的2受倍，或者说16与6的比是8：3.又如10米与4米的倍激关系是10÷4=吕-2经.我们说10米是4米的2号备， 或者说10米与4米的比是5：2 从这里可以看出，比的符号“：”实际上与除法里的除号“÷”及分数里的分数线“一”意义相同，所以8：3也可以写 做令，5：2也可以写散易，读起来还是可以读做8比8与5 比2. 注意我们通常说“5比4大1”，这句话里的“比”字与“5比4”里的“比”字，它们的意义是有不同的.5比4大1，是说它们之间的差是 1,即5-4-1，但只说5比4时，那就是表示54或. 在代数里，我们用字母表示数，两个数a和b的比，可以写做a:b.a和b叫做比的项，a叫做比的前项，b叫做比的后项，%的值叫做这个比的比值（简称值）.这里后项b不能等于零 例如在比5a2:7b3里，比的前项是5a2,比的后项是762，5a3 比值是702· 4259, ==========第266页========== §6•2比的基本性质 两个数的比实际上也就是表示这两个数的商，可以写成分式的形式。例如a:b,可以写做分.所以分式的基本性质，对于比来说，也是适用的.因此我们有比的基本性质：比的前项和后项，乘以或除以相同的不等于零的数或代数式时，比的值不变.即 a:b=ma:mb (m≠0)， a:b-a.6 mm (m≠0). 根据比的基本性质，我们可以化简一个比，使比的前项和后项没有公因式：例1.化简： (1)3ab3c:(-18abc3);(2)a(a2-b2):(m3-b3); (3)(x2-5x+6):(a2-6x+8); ④(a+)(a-) [解] (1)3ab3c:(-18a3bc3) = 3a68c:-18a3bc33abc:-323c=-a262:6c, (2)a(a2-b2):(a3-b3) =a(a+b)(a-b):(a-b)(a2+ab+)=a(a+b):(a2+ab+b2); (3)(x2-5x+6):(2-6x+8) =(x-3)(x-2):(x-4)(心-2)=(-3)：(c-4)； ·260◆ ==========第267页========== ④(a+)(a-)-(a+)(a-) =(a2+1):(a2-1). 注在比的前项或后项中有一个带有“一”号时，通常要把这个“一”号放在前项， 例2.求下列各比的值： (1)3a8b2:5a263, 其中a=-5,b=7; (2)(2-9):(x2-6a+9),其中x=-2.1.分析先把比写成分式的形式，化简后再代入求值. [解]1(1) 30-63-8—용3)-을 6a26=65=6(7 7・ (2)(x2-9):(x2-6x+9) =(x+3)(-3》）=+3=-2.1+3 (c-3)2c-3-2.1-3 ≤_09=-9=-3 -5.15117 习题62 化简(1~10)： 1.（-5a463c2d):(-15ab3cd4).2.(x2-1)2:(1-x2)2. 3.(a-b)(b-c)(b+a)(c-b).4.(2-5x-6):(x-1). 5.(a-b)3:(b-a)3 6.(a+b)3:(b+a)3 7.(1+공+)：（-1）。 8.(a2+):(a+). 9.a号， 10.号0. 求下列各比的值(11~14)： 11.(r+5m-6):(2-x-x2),当x=-2 2 12.(-):(x4+y)(x2+y2)(x+y),当x=5.321,y=-2.321. ·261· ==========第268页========== 13.(a2+b2):(a+b)(a-b),当a=-3,b=-0.03。 14.(+)(-),当=-1受 §63比的反比 一个比的前项和后项对调所成的比叫做原来的比的反比. 例如：3：2是2：3的反比； a:b的反比是b:a; 2ab:5cd是5cd:2ab的反比； (x十y):(x-y)的反比是(-y):(c+y). 注一个比的前项如果是0，那它就没有反比了。例1.求：(1)5a:(-6b)的反比； (2)3x2:(2-y2)的反比. 【解1(1)5a:(-66)的反比是-6b:5a; (2)3x2:(x2-y2)的反比是(2-y2):3x2. 例2.求下列各比的值，它们的反比及反比的值，再求这两个比值的积. (1)(2-4):(2-4+4)，当=-3； ②(a+)(a-) 当a=-0.3. [解1 (1)(x2-4):(2-4+4)=(8-2)(x+2):(c-2)8 =(+2):(-2), 它的反比是 (w-2):(+2). 当一一3时，原来的比的值是 •262· ==========第269页========== x+2-3+2-11 6-2-3-2--5 5 它的反比的值是 一2=-3-2-5 x+2 -3+2-16. 两个比值的积是 局×5-1. (2(a+)(a-)=(a2+10:(a2-10, 它的反比是 a2-1):(a2+1). 当a=-0.3时，原来的比的值是a2+1(-0.3)3+11.09 a-1(-0.3)3-1 =-109 -0.9191 反比的值是 a2-1=(-0.3)9-1=-0.91=-91a2+1(-0.3)+11.09 109· 两个比值的积是 (-)×(-）-1. 从例2可以看出，一个比和它的反比的乘积，不论它们的值如何，总是等于1. 习题6-3 求下列备比的反比并化简(1~5)： 1.-3a2:5ab 2.(-):(器-1 3.(ab+a+b+1):(ab-1-a+b) ·263· ==========第270页========== 4.(a-x2-2ry-y2):(a2-2a+x2-y2). 6.[(a+b-c)(a-b-c)-(a+b+c)(a-b-c)]:C(a-b+c) -(b+c-a)2]. 求下列各比的反比和反比的值(6~8)： 6.3a2:(a2-1),a=-2. 7.(a2+2ab+b2:(a2-ab-2b2),a=2.1,b=-1.1.1 8.(会-)（器-=-02. §6·4比 例 在算术里，我们已经知道，用一个等号把两个比连接起来表示它们的值相等的式子叫做比例， 例如：16：8=2：1；6：10=3：5等，都是比例， 15:21=32:心也是一个比例 在代数里，比例也有同样的意义.例如，下面的式子都是比例： a:b=c:d a:b=b:c (3aw-5a):(6e-a)=5b:7c. 因为比可以写成分式的形式，所以比例也可以写成两个分式用等号连接起来的形式，例如a:b=c:d可以写做 号-京 我们知道比有前项和后项，比例里有两个比，所以就有两个前项和两个后项. 和在算术里一样，我们把比例里的四个代数式叫做比例的项，依照前后次序，第一项和第四项叫做比例的外项，第二 ·264◆ ==========第271页========== 项和第三项叫做比例的内项. 例如在比例a:b=c:d里.a和d是比例的外项，b和c是比例的内项 §651比例的基本性质 在算术里，我们知道，一个比例的外项的积一定等于它的内项的积，这个性质叫做比例的基本性质. 例如在比例10：6=5：3里，外项的积10×3=30，内项的积6×5=30，..10×3=6×5. 在代数里，这个性质也还是存在的、那就是比例的基本性质：在一个比例里，外项的积等于内项的积。即在比例 a:b=c:d里，ad=bc, §6·6解比例 在算术里，我们已经学习过解比例了.解比例就是求比例里的未知项.在算术里，这个未知项通常是用字母心米表示的. 例1.解比例： 3:5=12:G. [解1根据比例的基本性质， 3x=5×12, 即 3化=60. 这里60是3与c的积.我们知道，已知两数的积与其中的一个因数，要求另一个因数，只要用除法， .心=60÷3=20 ●265· ==========第272页========== 例2，解比例：24：c=12:7.[解]根据比例的基本性质， 12x=24×7, 即 12x=168. ..c=168÷12=14. 在代数里，这样的解比例的方法也还是适用的。例3.解比例：a:b=x:C,这里是未知项。 【解]根据比例的基本性质， by =ac, .。x=ac÷b, 即 =a b· 例4.已知比例：(a2-b2):(e3-b3)=(a3+b):,求c.[解1(a2-3)c=(a3-63)・(aシ+b3), ∴。a=(a8ーb)(a3+5) a2-b2 (at8)(a-b)(a2+ab+82)(a2-ab+82) (a+b)(a-b) =(a2+ab+b2)(a2-ab+b)=a4+a2b3+b4 习题66 在下列各比例中，说明哪些是前项，哪些是后项，哪些是外项，哪些是内项(1~4)： 1.3:5=12:20, 2.a:3a=5b:15b, 3.3a:5b=6a:10b, 4.a:x=b:a2。 4266● ==========第273页========== 根据下列的叙述列出比例(5~10)： 5.a与b的比等于c的平方与☑的平方的比. 6.a,b两数的和与差的比等于c与d的和与差的比.(a>b,c>d,) 7.a与b的和的平方比a与b的各自平方的和等于c与d的和的立方比c与d的各自立方的和 8,a与b的比等于c与d的比的反比. 9.a与b的比等于它们的倒数的比的反比. 10.a与b的相反的数的比等于a的相反的数与b的比。求下列各比例中的x的值(11~14)： 11.3:w=5:16 12.12:1=5.2:x. 13.3a2:5b2=702 . 14.1:a-b)=6,b-a 解比例(x表示未知项)(15~18)： 15.a:c=a2:b, 16.(a2-b2):(a-b)2=(b-a)2:x. 17.(a2-b2):x=(b2+2):(a4-b4). 18.x:(a2-2a+1)=(a2-1):(1-a)8 先用其他字母的代数式表示x,再求x的值(19~20)： 19.(a2+3a+2):x=(a+2)2:(a2+a-2),其中a=-1号 20.(a2-b2):(a2-ab)=x:3,其中a=-2b. §6·7成正比例的量 在算术里，我们学习过成正比例的量、现在我们来复习 一下。 ·267· ==========第274页========== 成正比例的量：两种相关联的量，在其他条件不变的时候，如果其中的一种量扩大几倍，另一种量也扩大相同的倍数，一种量缩小几倍，另一种量也缩小相同的倍数，那么这两种量就叫做成正比例，它们之间的关系叫做正比例关系 例1.汽车2小时行72公里，用同样的速度行6小时，可以行多少公里？如果要行288公里，需要多少小时？[解]这里有两种相关联的量，一种是时间，另一种是路程.这里有一个不变的条件，就是同样的速度 我们现在把三次行路的两种量的数值，列表如下（要求的未知量，分别用字母心与y来表示)： 量的种类第一次行路时的数值第二次行路时的数值第三次行路时的数值 时间（小时） 2 6 路程（公里） 72 288 同一次里两种量的数值，叫做一组对应的值，例如2和72,6和c,y和288，都是对应值. 我们知道，如果速度不变，那么时间和路程这两种量是成正比例的量，即第一种量扩大或缩小几倍，第二种量也扩大或缩小同样的倍数 (①)拿时间来说，第二次对第一次扩大的倍数是6：2.拿路程来说，第二次对第一次扩大的倍数是x:72。因为倍数相等，得比例 6:2=x:72 解比例， 2=6X72, ·268• ==========第275页========== 6×72 2’ c=216 答：汽车在6小时内行路216公里. (2)拿时间来说，第三次对第一次扩大的倍数是y:2.拿路程来说，第三次对第-一次扩大的倍数是288：72。因为倍数相等，得比例 y:2=288:72 解比例， 72则=2×288， y2×288 725 y=8. 答：汽车行288公里需要8小时， 注意在判定成正比例的量时，必须注意两点： (1)其他条件不变.如在这里必须速度不变.如果速度有变化，那末时间和路程就不是成正比例的量了 (②)倍数相同.如果只知道一种量扩大时另一种量也扩大，而倍数不同，那末这两种量也不是成正比例的量 因为两个同类的量的倍数就是它们的比，所以我们对成正比例的量，也可以作这样的叙述： 两种相关联的量，在其他条件不变的时候，如果一种量的任意两个数值的比总等于另一种量的两个对应的数值的比，那么这两种量就叫做成正比例的量. 如果我们把一种量的一些数值用字母1,2,3，…来表示，把另一种量的对应的数值用字母b1,bg,b3,…来表示，如下表： 0269· ==========第276页========== 量的种类 组对应值 另一组对应值 另一组对应值 一种量a a1 4 a 另一种量b D1 0% Da 注a1,2,a3,;b1,b2,b,…都表示不同的数那么如果这两种量成正比例关系，就有比例： a1:a2=b1:bg,a1:a3=b1:b3,…. 现在我们再来看看这些量里有负值时的情况. 例2.在东西向的公路上，甲、乙、丙、丁四人同时经过一车站，甲、乙分别以每小时9公里和12公里的速度向东，丙以每小时18公里的速度向西.当甲到达这个车站以东30公里的时候，乙和丙各到达了哪里？如果这时丁到达了车站以西20公里处，丁的速度和方向怎样？ [解]我们把向东方向作为正方向，那末速度和路程，都以向东的取正值，向西的取负值.把这四个人的速度和路程，列表如下（未知的量分别用字母c,y,:表示）：量的种类 甲 乙 丙 速度（每小时公里） 9 12 -18 路程（公里） 30 名 -20 如果时间不变，那末速度和路程这两种量是成正比例的量，即这两种量的对应值之间的比应该相等.得比例： (1)9:12=30:, (2)9:(-18)=30:y, (3)9:%=30:(-20). 解这些比例： (1)9x=12×30, x=12×30 9 云40 ·270· ==========第277页========== (2)9则=-18×30， y--18×90=-60, 9 (8)302=9×(-20),2=9×一20）=-6. 30 答：乙这时在车站东面40公里处， 丙这时在车站西面60公里处，丁的速度是向西每小时6公里. 注在算术里，我们说的倍数关系总只讲正数倍数，在代数里，我们也讲负数倍数，如9是-18的-与倍，-18是9的一2倍。 §6-8成反比例的量 在算术里，我们也学习过成反比例的量.现在来复习一下 成反比例的量：两种相关联的量，在其他条件不变时，如果其中的一种量扩大几倍，另一种量反而缩小相同的倍数，一种量缩小几倍，另一种量反面扩大相同的倍数，那么这两种量就叫做成反比例，它们之间的关系叫做反比例关系. 例1.从甲地到乙地，一车以平均速度每小时12公里行驶，4小时到达、如果第二车以平均速度每小时24公里行驶，要儿小时到达？如果第三车要在1小时内到达，平均速度应该多少？ 【解】这里有两种相关联的量，一种是速度，另一种是时间.这里有一个不变的条件，就是甲地到乙地的距离。 我们现在把三辆车子的两种量的数值，列表如下（要求的未知量，分别用字母心与y来表示)： ●271· ==========第278页========== 量的种类 第一车 第二车 第三在 速度（每小时公里） 12 24 时间（小时） 4 1 同一车的两种量的数值，叫做一组对应的值，如12和4，24和，y和1，都是对应值 我们知道，如果距离不变，那么速度和时间这两种量是成反比例的量，即第一种量扩大或缩小几倍，第二种量反而缩小或扩大同样的倍数. (1)拿速度来说，第二车对第一车扩大的倍数是24：12.拿时间来说，第二车对第一车缩小的倍数是4：心.因为倍数相等，得比例 24:12=4:w 解比例， 24x=12×4, 12×4 24=2. 答：第二车2小时可到. (2)拿速度来说，第三车对第一车扩大的倍数是y:12.拿时间来说，第三车对第一车缩小的倍数是4：1.因为倍数相等，得比例 y:12=4:1, 解比例， y=12×4, y=48 答：第三车的速度应该是每小时48公里. 注意在判定成反比例的量时，必须注意两点： (1)其他条件不变.如这里的路程相同. (2)倍数相同.如果只知道一种量扩大时另一种量缩小，而倍数不同，那末这两种量就不能说是成反比例的量， ·272· ==========第279页========== 因为两个同类的量的倍数就是它们的比，所以我们对成反比例的量，也可以作这样的叙述： 两种相关联的量，在其他条件不变的时候，如果一种量的任意两个数值的比总等于另种量的两个对应的数值的比的反比，那么这两种量就叫做成反比例的量. 如果我们把一种量的一些数值用字母41，a2,3,…来表示，把另一种量的对应的数值用字母b1,b2,bg,…来表示，如下表： 量的种类 组对应值 另一组对应值 另一组对应值 第一种量a di as 第二种量b D1 D2 Ds 那么如果这两种量成反比例关系，就有比例： a1:a2=bg:b1,1:a3-b3:b1, 现在我们再来看这些量里有负值时的情祝 例2.在东西向的公路上，甲车站在乙车站的东面、有 四车在正午同时经过乙站.第一车以平均速度每小时12公里向东3小时后到达甲站.如第车以平均速度每小时24公里向东，什么时候到达甲站？如第三车以平均速度每小时18公里向西，什么时候经过甲站？如第四车在1小时前经过甲站，它的速度和方向怎样？ [解]我们把向东方向作为正方向，那末速度向东是正的，向西是负的.时间方面，拿以后几小时作为正，拿以前儿小时作为负.把这四车的速度和时间，列表如下（未知的量分别用字母x,y,名表示)： ◆273• ==========第280页========== 量的种类 第一车 第二车 第三车 第四车 速度（每小时公里） 12 24 -18 时间（小时） 3 -1 我们知道，甲乙两站的距离不变，速度时间这两种量是成反比例的量，即一种量的两个数值的比与另一种量的对应值的比的反比相等.得比例： (1)12:24=心：3， (2)12:(-18)=y:3, (3)12:z=（-1):3. 解这些比例： (1)24=3×12, 3×12 24 11 (2)-18则=3×12， g3×12=-2; -18 (3)-1z=3×12, 3×12=-36. 一1 答：窝二车在1号小时后到达甲站， 第三车在2小时前过甲站， 第四车的速度是平均每小时36公里向西， 习题68 1.某建筑工地原采用4辆汽车运土，每天运56立方米，如果要每天运98立方米，要用同样的汽车几辆？ 2.某生产队要收割750亩小麦，3天收割了450亩，照这样的速度，其余的还要几天可以收割完？ 3.一本文艺书，平均每天读20页，15天读完，如果每天平均读12页，几天可以读完？ 4.一列火车3小时行路150公里。有一段路程，这列火车行了4 ·274 ==========第281页========== 小时，假定速度不变，这段路程有多少公里？ 5.一列火车每小时平均行50公里，有一段路程，火车行驶36分钟.如果另一列火车在这段路上行了40分钟，第二列火车的平均速度每小时多少公里？ 6.一列火车在a小时内行路b公里，如果这列火车速度不变，在c小时内行路多少公里？（答数用a,b,c的代数式来表示.） ?.如果汽车从甲地到乙地以每小时a公里的速度行驶b小时，回来时要在小时内赶回，需用怎样的速度？ 8.汽车从甲地到乙地以每小时a公里的速度行驶b小时，回来时速度较去时增加20%，回来时共需多少时间？ 9.下面表内是两个量的一些对应的数值，根据这些数值来判断，它们是不是成正比例： (1) a a1=6 a2≈9 ag=15 b b1=8 b3÷12 b3=20 (2) x x1=18 c2=26 x3=3会 y 91=20 2=28 8=36 10.下面表内列出了两个量的一些对应的数值，根据这些数值来判断，它们是不是成反比例： (1) a 41=24 a2=36 a8=27 b b1=18 b2=12 b3=16 (2) x1=24 =32 x3=40 1=20 的-12 3=4 ·275· ==========第282页========== 11.和b是两种成正比例的量，求下表中未知量的值： a a1=16 2=24 5=-8 a4=? a5=？ b b1=9 h2=9 b8=? b4=15 b5=-2 12.a和b是两种成反比例的量，求下表中未知量的值： a1=16 2=24 e=-8 a4=? 5=? b b1=9 下8=？ 币8=7 b4=15 b5=-2 13.x和y是两种成正比例的量，求下表中的未知量： 9 3a26 16ab a+b 3 x4 5ab2 3y1 2 -16ab a-b 14.x和y是两种成反比例的量，求下表中的未知魔： 3a26(a+b) 16ab a+b 的 4 5ab3(a-3) U1 Va -16ab a+6 本章提要 1.本章的重要概念比，比的前项和后项，比值比的反比 比例，比例的项（内项和外项）成正比例的量，成反比例的量。 2.比的基本性质 a:b=2a26, (m÷0). a:b=&:6 2222 3.比例的基本性质如a:b=c:dd,则ad=bc。 ·2760 ==========第283页========== 复习题六 1.写出两个比，并逆明它们的前项、后项和比值，写出它们的反上t, 2.写出两个比例，并说明每个比例的内项和外项， 3.一个比有没有等号？一个比例呢？一个比例里有几个比？ 4.叙述比的基本性质，并用字母来表达 5.叙述比例的基本性质，并用字母来表达. 6.怎祥的两种量叫做成正比例的量？ 如果有两种量，一种量扩大或缩小时，另一种量也扩大或缩小，这样的两种量能不能肯定是成正比例的量？为什么？ 7.怎样的两种量叫做成反比例的量？ 如果有两种量，一种量扩大或缩小时，另一种量反而缩小或扩大，这样的两种量能不能肯定是成反比例的量？为什么？ 8.一个正方形的边长扩大的时候，它的面积也扩大.正方形的面积与它的边长是不是成正比例的量？为什么？列表表示它们的三组对应值 化简(9~12)： 9.(号-）：c+0. 10.a3+63.a+b a-ba8-b3・ 11.(a2+2ab+b2-c2):(a2--2bc-c2). 12.x2-2x+1:-3x+2 2-4x+42+3x+2・在下列比例中，求(13~16)： 13.2ab:5a63=(-2a)2:x, 14.(a2-b2):(a3+b3)=c:(a-b)2, 15.(a2-2a+1):t=(a2-3au+2):(a2-a-2). 16.(a3b2)2:(a263)2=:(a2b)5. 17.如果a与b是两个成正比例的量，而且知道a=16时，6=24；当a=一24时，b的对应值是多少？b=30时，4的对应值是多少？ ●277· ==========第284页========== 18.如果x与y是两个成反比例的量，而且知道x=30时，y=56,当x=一15时，y的对应值是多少？y=20时，x的对应值是多少？ 19.如果x与y是两个成正比例的量，而且知道x=a2一b2时，y=3a2b:若y=Q2-b2,x=? 20.如果x与y是两个成反比例的量，而且知道x=2一时，y=342b,若y=b2-w,x=? ◆278◆ ==========第285页========== 总复习题 1.如40时、-a是 2 负数，当&=0时、-a=0,当a<0时、-a是正数；27.当b>0时、a+b>a,b=0时、&+b=a,b<0时、a+b0时、a-ba;29.a>0时、3a>a,a=0时、3a=a,a<0时、3a0时、分a;31.a是正数或零；32.a是负数38.a=b 或a=-b,即a与b可能相等，可能是相反的数；34.a>0时、a>b,a<0时、a